Ширма в углу

[Nadir Zaitov]

Есть ширма состоящая из двух створок длинной 1 метр.
Какую наибольшую площадь можно ею отгородить от угла комнаты?

(Задачка старая как мир, но именно поэтому может быть интересна,так как многими забыта ).

[Shuhrat Ismailov]

Сообщение от Nadir Zaitov

Задачка старая как мир, но именно поэтому может быть интересна,так как многими забыта

Не забыта
http://uforum.uz/showthread.php?t=14764

Сообщение от Nadir Zaitov

Есть ровный берег у моря, вдоль которого губернатор разрешил Вам прихватизировать участок в форме 4-х угольника....... Задача отхватить самый большой по площади участок.
Берег моря пердставляет из себя мыс в форме прямого угла, врезающегося в море.

[Nadir Zaitov]

Но тут планки 2.
Решение (кроме соображения симметрии можно решать в лоб) несколько другое.

[Shuhrat Ismailov]

Сообщение от Nadir Zaitov

Но тут планки 2.
Решение (кроме соображения симметрии можно решать в лоб) несколько другое.

Понятно.... Спасибо за задачу

Согласно идее, данной там должно так получиться

[Nadir Zaitov]

Сообщение от Shuhrat Ismailov

Согласно идее, данной там должно так получиться

1. Решение через симметрию уже было.
Но данную задачку можно еще и решить в лоб.

2.Нужно еще решить... определить площадь или указать фигуру (ее геометрию).

[Shuhrat Ismailov]

Сообщение от Nadir Zaitov

2.Нужно еще решить... определить площадь или указать фигуру (ее геометрию).

Рассмотрим четырехугольник, состоящий из прямоугольного равнобедренного треугольника с катетом стороной и равнобедренного треугольника с единичной стороной и углом при вершине, равным


Наша цель : найти значение , доставляющее максимум площади нашего четырехугольника.
Находя общую сторону этих двух треугольников и приравнивая, легко имеем:

Последнее выражение достигает максимума, равного при , а это и есть угол правильного восьмиугольника, показанного на рисунке в моем предыдущем посте.

[Nadir Zaitov]

Сообщение от Shuhrat Ismailov

при

Точно....

А еще просто (если уже мы пришли к симметрии), то можно было предположить, что у нас всего одна планка и угол 45° . Тогда сразу видно, что решением является равнобедренный треугольник с основание 1 метр, и углом при основании (180°-45°)/2 = 65° ... а если не делить на 2 - то получим искомые 135°. Почти устный счет

[Evgeniy Sklyarevskiy]

Сообщение от Nadir Zaitov

А еще просто (если уже мы пришли к симметрии),

Так каанеееечно... легко. А давайте предположим, что у ширмы одна стенка вдвое короче чем другая? :-0)))

[Nadir Zaitov]

Сообщение от Evgeniy Sklyarevskiy

А давайте предположим, что у ширмы одна стенка вдвое короче чем другая?

Давайте

[Nadir Zaitov]

Сообщение от Evgeniy Sklyarevskiy

Так каанеееечно... легко. А давайте предположим, что у ширмы одна стенка вдвое короче чем другая?

Готов предложить гипотезу, что для любого набора отрезков с заранее фиксированной длинной и для любого угла (больше 0 градусов строго и наверное меньше 360 градусов, хотя последнее не принципиально, я думаю) справедливо, что ширма (составленная из этих отрезков) с наибольшей площадью будет отрежет замкнутую область от угла тогда и только тогда, когда все углы ширмы расположены на одной окружности с центром в вершине угла... при этом (как следствие) порядок звеньев в ширме не имеет значения !

Доказывается видимо также, как и в случае равнобедренного треугольника, если предположить, что у нас всего одно звено . А еще можно и по индукции попробовать доказать