Участок у моря

[Nadir Zaitov]

1. Есть ровный берег у моря, вдоль которого губернатор разрешил Вам прихватизировать участок в форме 4-х угольника. Одна сторона - это берег моря, а три другие - равные по длинне отрезки суши.
Задача отхватить самый большой по площади участок.

Оффтоп:

Задачка найдена в интернете, но она открывает много подобных задач, однако решение именно этой задачи имеет достаточно простое и очень красивое решение.

2. Берег моря пердставляет из себя мыс в форме прямого угла, врезающегося в море. Как будет выглядить решение теперь?

3. Берег моря пердставляет из себя мыс в форме произвольного угла, врезающегося в море.

[German Stimban]

Надир-ака, не уточняется, что длина забора (периметр участка) ограничена.

[Nadir Zaitov]

Сообщение от German Stimban

Надир-ака, не уточняется, что длина забора (периметр участка) ограничена.

Точно! Необходимо уточнить.

Сообщение от Nadir Zaitov

равные по длинне отрезки суши

Нужно читать - "равные по длинне отрезки суши, фиксированной длинны"

[Shuhrat Ismailov]

Про первую задачу я слышал давно. Сначала думал, что решением будет квадрат. Оказалось, что это не так.

[Nadir Zaitov]

Оффтоп:

Сообщение от ShN

Про первую задачу я слышал давно.

Вторая решается точно тем же способом... если Вы поняли о чем я.

[Shuhrat Ismailov]

Сообщение от Nadir Zaitov

Вторая решается точно тем же способом... если Вы поняли о чем я.

Оффтоп:

мне нравится Дидона и все, что связано с ней...Жаль , что в универе нам мало про нее рассказывали.

Спасибо за намек. Я понял, что для прямого угла надо трех соседей звать? А для угла альфа надо привлечь (360/альфа -1) соседей? Но 360/альфа может быть нецелым. Думаю, что в этом случае тупо нужно воспользоваться обобщением формулы Брахмагупты для площади произвольного невписанного четырехугольника, что не есть хорошо.

Оффтоп:

А Брахмагупта мне не нравится.... ... если Вы поняли о чем я (с) =).

[Nadir Zaitov]

Сообщение от ShN

А для угла альфа надо привлечь (360/альфа -1) соседей? Но 360/альфа может быть нецелым.

Сначала доказать для всех кратных...n-наслоением поверхности круга на себя - т.е. для всех рациональных чисел, а дальше перейти по непрерывности Как Вам такое зеркалирование?

Оффтоп:

Сообщение от ShN

Брахмагупта

Так там заведомо четырехугольник должен быть вписан в круг, а в случае угла вообще получается пятиугольник... неееет... не нравится мне в данном случае Брахмапутра. А про Дидону я не знал. Спасибо - помните, как я поцапасля с преподом по истории Математики за то, что он нам неинтересно ее читал?

[Evgeniy Sklyarevskiy]

Можно еще видоизменить условие (как новая задача): для прибрежного участка фиксированной площади построить забор из трех одинаковых по длине труб минимальной длины.

[German Stimban]

Нужно найти максимум, но пока лень.

[Nadir Zaitov]

Сообщение от German Stimban

Нужно найти максимум, но пока лень.

Можно конечно подсказать, что с точки зрения симметрии BAD и ADC на вашем рисунке должны быть равны, хотя это скорее гипотеза, чем четкое доказательство.

Но тогда, если длинна равных ребер варна L, то в зависимости от угла наклона BAD задача будет иметь следующий вид:

найти мах( L*cos(alfa)*L*sin(alfa) + L^2*cos(alfa)).

где: L*cos(alfa)*L*sin(alfa) = площадь двух треугольников побокам
L^2*cos(alfa) = площадь прямоугольника посередине (при симметрии там получится прямоугольник)

L^2 - выносим за скобки и получаем, что нужно найти максимум функции
cos(alfa)*(1+sin(alfa)), что очевидно легче вычислить.

Оффтоп:

Однако если еще упростить и дальше поиграть в симметрию, то можно и это не оптимизировать и в этом то и была красота задачи.