Докажем теорему Нагеля

[Barbedo]

Сообщение от b_a_lamut

Коллега, скажите, что в моём решении осталось не доказанным?

Сообщение от b_a_lamut

Если между двумя точками пересечения высот со сторонами описанного треугольника (А1 и В1) провести прямую до пересечения с данной окружностью ( точки D и E), то эти точки будут равноудалены от вершины треугольника из которого высота не проведена (точка С). Эта теорема, наверное давно доказана.

Тимофеус прав. Она, конечно, доказана Нагелем. И именно это и требуется доказать нам.

[b_a_lamut]

Сообщение от Barbedo

Тимофеус прав. Она, конечно, доказана Нагелем. И именно это и требуется доказать нам.

Понятно. Непонятно, как связано доказательство того, что угол C1KA=90° и то, что СО перпендикулярна А1В1, если на чертеже СО отсутствует?

[Barbedo]

Сообщение от b_a_lamut

Непонятно, как связано доказательство того, что угол C1KA=90° и то, что СО перпендикулярна А1В1, если на чертеже СО отсутствует?

Прошу простить мою невнимательность. В условии - доказать, что CO перпендикулярно A1B1, а в решении, - что AO перпендикулярно B1C1. Оно без разницы.

[b_a_lamut]

Сообщение от Barbedo

Прошу простить мою невнимательность.

Ой, это я невнимательный

[Timofeus]

Сообщение от Barbedo

Поскольку угол ортотреугольника C1=A+B-C=180°-2С и C1H является его биссектрисой, то угол CC1B1=90°-C. Тогда угол AC1B1 = C. С другой стороны угол AOB=2C, соответственно угол С1AO=90°-C. Следовательно, угол C1KA= 180° - AC1B1 - С1AO=90°.

Что то я ни черта немного не понял. Откуда C1=A+B-C? Можно подробное доказательство?

[Barbedo]

Сообщение от Timofeus

Откуда C1=A+B-C? Можно подробное доказательство?

В прямоугольном треугольнике ACC1
AC1=ACcosA (I)
В прямоугольном треугольнике ABB1
AB1=ABcosA (II)
Тогда в треугольнике AB1C1 по теореме косинусов
C1B1^2=(cosA)^2*(AC^2+AB^2-2AC*AB*cosA)=(cosA)^2*CB^2
Отсюда
C1B1=CB*cosA (III)
Из I,II,III следует, что треугольник AB1C1 подобен треугольнику ABC и коэффициент подобия равен cosA.
Таким образом мы доказали одно из свойств ортотреугольника – он отсекает от исходного треугольника подобные ему треугольники.
Но тогда <AC1B1=<ACB и <BC1A1=<ACB, а значит
<A1C1H=90°-<BC1A1=90°-<AC1B1=<B1C1H
Так мы доказали, что высота CC1 исходного треугольника является биссектрисой угла A1C1B1 ортотреугольника и еще одно свойство ортотреугольника: ортоцентр треугольника является центром вписанной окружности его ортотреугольника.
Обозначим теперь углы при вершинах исходного треугольника A,B и C, а при вершинах ортотреугольника A1, B1 и C1 и перепишем найденное в виде:
½ С1=90°-C
½ B1=90°-B
½ A1=90°-A
Или
С1=180°-2С=A+B+C-2C=A+B-C
B1=180°-2B=A+B+C-2B=A+C-B
A1=180°-2A=A+B+C-2A=B+C-A

[b_a_lamut]

Сообщение от Timofeus

Откуда C1=A+B-C? Можно подробное доказательство?

Это описка. Вместо С1..., угол С1=180 градусов, а А1С1В1=А+В-С. Остальное верно.

[b_a_lamut]

Сообщение от b_a_lamut

В прямоугольном треугольнике ACC1

Ой, пока писал, не видел ваш комментарий.