Дети и овцы

[Shuhrat Ismailov]

Сообщение от Evgeniy Sklyarevskiy

Интересное развитие задачи: А если бы сосед сказал: «Дай мне 4 (9, 16, 25... N^2 монет) делилось ли оставшееся число на 24?

Сейчас требуется исследовать, при каких k=2,...,N возможна делимость числа
p^2-k^2 на 24.
Так как p^2-k^2=(p^2-1)-(k^2-1), причем по доказанному выше p^2-1 делится на 24, то делимость числа p^2-k^2 на 24 равносильна делимости k^2-1 на 24.
Поэтому задача Скляревского получает следующую модификацию:
"Жил-был пастух, и было у него в жизни две радости: разводить овец и растить детей.
Детей у него было 24, а овец — намного больше.
Когда денег совсем не осталось, поехал он на ярмарку и продал всех овец.
Вернувшись домой, он захотел разделить выручку поровну между своими детьми, но не тут-то было. Не делится, и все.
Пошел он к учёному соседу и стал жаловаться на несправедливую жизнь. Тот его и спрашивает: «А сколько же денег ты заработал?»
Пастух долго чесал в затылке: «Помню только, что количество овец было большим простым числом и продал я каждую овцу за столько монет, сколько первоначально было овец в стаде».
Ученый сосед в ответ: «Невелика беда, дай мне 1 монетку за совет, а остальные деньги дели себе на здоровье»."
Возможно ли такое?
Иначе говоря найти, при каких k=2,...,N возможна делимость числа k^2-1 на 24.
Ясно, что при любом простом k число k^2-1 на 24 делится.
А при k=24 число k^2-1 на 24 не делится.

Оффтоп:

Не надо ему давать больше одной монетки, не заслужил.

[Shuhrat Ismailov]

Сообщение от Evgeniy Sklyarevskiy

Значит, если отдать соседу простое число монет, то все сойдется!!!

Вернее, квадрат простого числа.

[Nadir Zaitov]

Сообщение от Evgeniy Sklyarevskiy

Значит, если отдать соседу простое число монет, то все сойдется!!!

Судя по доказательству достаточно и вполне может быть необходимо, чтобы N было нечетным и не делилось на 3.

[Shuhrat Ismailov]

Сообщение от Nadir Zaitov

Судя по доказательству достаточно и вполне может быть необходимо, чтобы N было нечетным и не делилось на 3.

Согласен, что в этом случае k^2-1 делится на 24.

Оффтоп:

Если k=2,3,....,N нечетно и не делится на 3, то оно взаимно просто с 24.

А как быть с необходимостью?
Скорее всего, это следует из следующего факта.
k^2-1 делится на 24 тогда и только тогда, когда
одновременно k^2-1 делится на 8 и k^2-1 делится на 3.

[Nadir Zaitov]

Сообщение от Shuhrat Ismailov

А как быть с необходимостью? Скорее всего, это следует из следующего факта.

Ага. Я тоже так подумал.