Шариковое свойство параболы

[Barbedo]

Шарик падает с высоты h на наклонную плоскость и прыгает по ней. Как зависит период прыжков от угла наклона плоскости а? Потерями на трение и соударения пренебречь.
Е.Скляревский

[Timofeus]

:D

Скрытый текст:

Это расчет первого периода. Равны ли ему последующие, не проверял.

[Barbedo]

Timofeus,
1) не совсем понятно, как tgα превратился в cosγ/sinγ?
2) как учтен знак γ, когда вектор скорости направлен ниже оси x?

[Timofeus]

Сообщение от Barbedo

1) не совсем понятно, как tgα превратился в cosγ/sinγ?

Память подводит .

Сообщение от Barbedo

2) как учтен знак γ, когда вектор скорости направлен ниже оси x?

Хоть и ошибка, но в итоге верно, т.к. я минус перед уравнением прямой убрал.
Есть еще №3 - неправильный тангенс альфы я исправил на тангенс гаммы не посмотрев.

После пересмотра, получается


Хотя смущает отрицательное значение при малом альфа. Видимо, опять что-то в синусах напутал.

[Barbedo]

h=gt^2/2
Vo=gt
Vo=(2gh)^0,5
v=Vo*cos(2a)
u=Vo*sin(2a)
h1=vt1/2
s1=ut1
t1=v/g
h1=v^2/2g
s1=uv/g=Vo*sin(2a)*Vo*cos(2a)/g=Vo^2*sin(4a)/2g

Взяв за начало координат точку первого отскока, запишем траекторию шарика в виде:h(s)=-k(s-s1)^2+h1
При s=0 имеем:
k=h1/(s1)^2=(v^2/2g)/(uv/g)^2=g/(2u^2)
и уравнение параболы
h(s)=-g/(2u^2)*(s-s1)^2+h1
Уравнение наклонной плоскости запишем в виде:
y(s)=-s*tga
Точку падения шарика найдем при h(s)=y(s)
-g/(2u^2)*(s-s1)^2+h1=-s*tga
g/(2u^2)*(s-s1)^2-h1-s*tga=0
g/(2u^2)*(s^2-2ss1+s1^2)-h1-s*tga=0
g/(2u^2)*s^2-2sg/(2u^2)*uv/g+g/(2u^2)*(uv/g)^2-v^2/2g-s*tga=0
g/(2u^2)*s^2-sv/u+v^2/(2g)-v^2/2g-s*tga=0
g/(2u^2)*s^2-sv/u-s*tga=0
g/(2u^2)*s-v/u-tga=0
s=(v/u+tga)/(g/(2u^2))=
=2(ctg(2a)+tga)*u^2/g=
=2((ctga-tga)/2+tga)*u^2/g=
=(ctga+tga)*u^2/g
Тогда t полета шарика между первым и вторым ударом о плоскость составит:
t=s/u=(ctga+tga)*u/g=(ctga+tga)*Vo*sin(2a)/g=
=2Vo(ctga+tga)*sina*cosa/g=
=2Vo(cos^2(a)+sin^2(a))/g=2Vo/g
Т.е. получилось, что время полета шарика между первым и вторым ударом о наклонную плоскость не отличается от аналогичного времени при ударе о горизонтальную плоскость независимо от угла наклона плоскости к горизонту! Но это для вертикального падения шарика.
Теперь второй отскок шарика.
Определим угол второго падения шарика как угол между касательной к первой параболе и горизонтом в точке падения.
S1=ut=u*2Vo/g
tgb=h’(S1)=(-g/(2u^2)*(S1-s1)^2+h1)’=
=-g/(u^2)*(S1-s1)=
=-g/(u^2)*(u*2Vo/g-uv/g)=
=-(2Vo-v)/u=
=-(2Vo-Vo*cos(2a))/(Vo*sin(2a))=
=-(2-cos(2a))/sin(2a)
Дальше при подсчете времени никак не удается избавиться от а. Похоже, что время между отскоками, начиная со второго, будет меняться.
Может, нахомутал где...

[Timofeus]

Сообщение от Barbedo

Дальше при подсчете времени никак не удается избавиться от а. Похоже, что время между отскоками, начиная со второго, будет меняться.

А если угол такой, что отскок от первого удара направлен сразу вниз?

[Nadir Zaitov]

Сообщение от Barbedo

Может, нахомутал где...

Я чего-то недопонимаю.

Давайте разделим скорости и гравитацию на 2 части. Параллельно плоскости падения и перпендикулярную ей.

Очевидно, что за соударение отвечает только сила и скорости перпендикулярные плоскости падения. И вообще. Параллельная составляющая скорости и гравитации живет сама по себе, а перпендикулярная сама по себе.

В такой "системе координат" ваша задача решается существенно проще. Видно, что все периоды одинаковые. Причем период зависит от угла наклона и начального расстояния мяча от плоскости.

Что в моих рассуждениях не так?

[Barbedo]

Сообщение от Timofeus

А если угол такой, что отскок от первого удара направлен сразу вниз?

Такое может случиться при a>45 градусов. В этом случае
s1=uv/g=Vo*sin(2a)*Vo*cos(2a)/g=Vo^2*sin(4a)/2g
будет отрицательным, поскольку cos(2a) будет <0. Соответственно, вершина параболы окажется левее точки первого отскока, и для полета она будет как бы мнимой вершиной, при этом, мне кажется, корректность остальных расчетов сохраняется.

[Barbedo]

Сообщение от Nadir Zaitov

Я чего-то недопонимаю.

Давайте разделим скорости и гравитацию на 2 части. Параллельно плоскости падения и перпендикулярную ей.

Очевидно, что за соударение отвечает только сила и скорости перпендикулярные плоскости падения. И вообще. Параллельная составляющая скорости и гравитации живет сама по себе, а перпендикулярная сама по себе.

В такой "системе координат" ваша задача решается существенно проще. Видно, что все периоды одинаковые. Причем период зависит от угла наклона и начального расстояния мяча от плоскости.

Что в моих рассуждениях не так?

В Ваших рассуждениях, Nadir, я не вижу отличий от наших с Timofeus рассуждений. Да, плоскость падения вертикальна, мы и раскладываем скорости на вертикальную и горизонтальную составляющие, при этом гравитация влияет только на вертикальную скорость. Чем же Ваша система координат отличается?
А утверждение "Видно, что все периоды одинаковые", на мой взгляд, голословное и совсем не очевидное. Хотелось бы взглянуть на расчеты.
Видно как раз иное: угол, под которым шарик падает на плоскость во второй раз, не совпадает с первым, соответственно, вектор скорости при втором отскоке иной, иные составляющие. Как доказать, что будут равными отрезки времени между ударами шарика о плоскость? Было бы замечательно. (Если это окажется так - пиво с меня!)

[Nadir Zaitov]

Сообщение от Barbedo

Если это окажется так - пиво с меня!

Думаю разопьем вместе .

Сообщение от Barbedo

Видно как раз иное: угол, под которым шарик падает на плоскость во второй раз, не совпадает с первым, соответственно, вектор скорости при втором отскоке иной, иные составляющие. Как доказать, что будут равными отрезки времени между ударами шарика о плоскость?

Так какая разница с какой скоростью и под каким углом бьется шарик о плоскость - важно на какое расстояние отлетит.

Есть гравитация под углом Альфа.

Как расписывается движение по горизонтали и вертикали до первого соударения:



Как видим угол наклона альфа силы гравитации у нас константа и движение по горизонтали не зависит от движения по вертикали. Только от времени.

Что происходит с горизонтальной составляющей движения при соударении? Ничего - отражается только вертикальная составляющая скорости, так как потерь от соударения и трения по условиям задачи нет.

Что происходит с вертикальной составляющей в момент соударения? Формально знак скорости меняется на противоположный. Пусть в момент соударения вертикальная скорость имеет значение Vc.

Тогда имеем, что по вертикали шарик начинает двигаться по формуле:



Причем видно, что при периоде соударения повторятся.

Что я сделал по-другому?