Игуаны, павианы и чевианы

Barbedo · 22.03.2011 11:26

Продолжение чевианы AQ равностороннего треугольника ABC пересекает описанную окружность в точке P. Доказать, что 1/PQ=1/PB+1/PC.

николай москвитин · 23.03.2011 22:56

Цитата:

Сообщение от Barbedo

Доказать, что 1/PQ=1/PB+1/PC.

Наверное, можно использовать тот факт, что AP=PB+PC.

Цитата:

Сообщение от Barbedo

Продолжение чевианы AQ

А Q может лежать на продолжении стороны треугольника?

Shuhrat Ismailov · 23.03.2011 22:58

Цитата:

Сообщение от николай москвитин

Наверное, можно использовать тот факт, что AP=PB+PC.

Покажу , как его использовать.
По теореме Птоломея
$AB\cdot CP+AC\cdot BP=AP\cdot BC$
Сокращая на $AB=AC=BC$ , получим
$AP=PB+PC$
Осталось доказать последнее.

Evgeniy Sklyarevskiy · 23.03.2011 23:06

Оффтоп:

Цитата:

Сообщение от Barbedo

Продолжение чевианы

Я от чевианы впал в ступор... а у нее еще и продолжение имеется...

Shuhrat Ismailov · 23.03.2011 23:13

Цитата:

Сообщение от Evgeniy Sklyarevskiy

Я от чевианы впал в ступор... а у нее еще и продолжение имеется

Действительно, необычная формулировка задачи, тем более для решения ее не нужно теорему Чевы наверное.
В школе чевианы не проходят, зато отрезок, соединяющий вершину и любую точку основания треугольника можно представить - это одно и тоже.

Оффтоп:

Тогда куда игуанов и павианов девать? Рифма пропадет

b_a_lamut · 23.03.2011 23:44

Цитата:

Сообщение от Evgeniy Sklyarevskiy

Я от чевианы впал в ступор... а у нее еще и продолжение имеется...

Оффтоп:

Если павиана, игуану и чевиану зацепить за хвосты мышкой и потянуть в другую сторону, то весь этот зоопарк продолжится.

b_a_lamut · 24.03.2011 00:12

Цитата:

Сообщение от Barbedo

Доказать, что 1/PQ=1/PB+1/PC.

А я верю, только павиану жалко

николай москвитин · 27.03.2011 13:04

Цитата:

Сообщение от николай москвитин

Наверное, можно использовать тот факт, что AP=PB+PC.

До меня дошло: PQ-это биссектриса угла BPC!!! Используйте этот факт, а также теорему о пропорциональности отрезков, образованных пересекающимися хордами.

Shuhrat Ismailov · 11.04.2011 15:47

Цитата:

Сообщение от николай москвитин

До меня дошло: PQ-это биссектриса угла BPC!!! Используйте этот факт

$\angle PAC=\angle PBC , \: \angle APC=\angle ABC=60^{0},\: \angle BPA=\angle BCA=60^{0}$
Отсюда имеем подобие треугольников и вытекающие попутные факты:
$\Delta APC\sim\Delta BPQ \Rightarrow \frac{PA}{PB}=\frac{PC}{PD} \Rightarrow PA\cdot PD=PB\cdot PC \: (1)$
С другой стороны по теореме Птоломея
$AP\cdot BC=AB\cdot CP+AC\cdot BP$
Сокращаем на равные стороны (так как теругольник правильный) получим
$AP=PB+PC (2)$

Из (1),(2) имеем $PB\cdot PC=PQ\cdot (PB+PC)$
Сокращая на $PB\cdot PQ\cdot PC$ получим искомое равненство

Знаете ли Вы, что ...
	...нарушения правил форума наказываются. Старайтесь их не нарушать.
	<< Предыдущий совет - Случайный совет - Следующий совет >>

Реклама и уведомления
<a href='http://adv.uzinfocom.uz/www/delivery/ck.php?n=a528de92&cb=INSERT_RANDOM_NUMBER_HERE' target='_blank'><img src='http://adv.uzinfocom.uz/www/delivery/avw.php?zoneid=65&cb=INSERT_RANDOM_NUMBER_HERE&n=a528de92&ct0=INSERT_CLICKURL_HERE' border='0' alt='' /></a>