Треузеркало

[Barbedo]

Можно ли на стороне остроугольного треугольника обнаружить такую точку M, из которой луч света, пущенный под некоторым углом, отразившись последовательно от двух других сторон треугольника, вернулся бы в исходную точку M?

[b_a_lamut]

Сообщение от Barbedo

...отразившись последовательно от двух других сторон треугольника, вернулся бы в исходную точку M?

Слышал, что есть гипотеза о том, что звёзды находятся так далеко от нас и, будто бы есть случаи, когда звезда уже погасла, а её свет мы наблюдаем на ночном небосклоне до сих пор... Если это так, то сделав фонарик в виде двустороннего зеркала, у которого бы светилась амальгама, и её свет можно было бы погасить, то помещённое в этом треугольнике это зеркало запустило бы луч, который бы болтался в этой зеркальной замкнутой поверхности вечно. Или гипотеза не верна?

[Barbedo]

Сообщение от b_a_lamut

Или гипотеза не верна?

Как звездочёт звездочёту, коллега, думаю, что гипотеза верна. Осталось только распространить её с равностороннего на произвольный остроугольный треугольник

[b_a_lamut]

Сообщение от Barbedo

Осталось только распространить её с равностороннего на произвольный остроугольный треугольник

Зеркало-излучатель - вместо фонарика?

[Evgeniy Sklyarevskiy]

Сообщение от Barbedo

Осталось только распространить её с равностороннего на произвольный остроугольный треугольник

И точку М сместить в сторону вершины А от середины :-0)))

[Shuhrat Ismailov]

Сообщение от Barbedo

Можно ли на стороне остроугольного треугольника обнаружить такую точку M, из которой луч света, пущенный под некоторым углом, отразившись последовательно от двух других сторон треугольника, вернулся бы в исходную точку M?

Как Вы любите бильярд, Барбедо! Нравятся мне такие задачки. О них мне в 2000 г. рассказывал в Японии известный математик-бильярдист Гриша Гальперин.
Так вот, вопрос можно переиначить.
Существует ли трехзвенная периодическая траектория в бильярде имеющем форму остроугольного треугольника?
Напомню, что периодической называется такая траектория шара, которая является замкнутой ломаной и не проходит через вершины.
Он ее решил так. Проведем высоты. Трехзвенная периодическая траектория проходит через основания высот.

Оффтоп:

Но мне кажется, что это еще нерешенная задача. Я знаю, что в остроугольном треугольнике с разными сторонами не существует четырехзвенной периодической траектории, зато есть пяти и семизвенные.

[b_a_lamut]

Сообщение от ShN

Проведем высоты. Трехзвенная периодическая траектория проходит через основания высот.

Вряд ли. Наверное, независимо от высот заданного треугольника необходимо чтоб высоты треугольника образовавшегося с помощью луча были и биссектрисами. Или нет?

[Shuhrat Ismailov]

Сообщение от b_a_lamut

Вряд ли. Наверное, независимо от высот заданного треугольника необходимо чтоб высоты треугольника образовавшегося с помощью луча были и биссектрисами. Или нет?

Треугольник с вершинами в основаниях высот называется ортотреугольником (или по-другому, ортоцентрическим треугольником).
Он является решением знаменитой задачи Фаньяно, в к-рой в данный остроугольный треугольник требуется вписать треугольник наименьшего возможного периметра и достаточно хорошо изучен.
В частности, известно его свойство, что высоты большого треугольника являются биссектрисами углов ортотреугольника.
Доказательство.
Пусть A1, B1 и C1 — основания высот остроугольного треугольника ABC, проведённых из вершин A, B и C соответственно.

Тогда <AC1B1 = <ACB, <BC1A1 = <ACB.
Отсюда <AC1B1 = <BC1A1.
Значит, <B1C1C = 90 - <AC1B1 = 90 - <BC1A1 = <A1C1C.
Точно также
<A1B1B = <C1B1B, <B1A1A = <C1A1A.
Отсюда следует высказанное нами утверждение о том, что трехзвенная периодическая траектория проходит через основания высот, т.е. является ортотреугольником.

[Nadir Zaitov]

Сообщение от ShN

<AC1B1 = <ACB

Вы мне вот эту деталь еще раз объясните. Как Вы к ней пришли? Для меня факт не совсем очевидный.

[Nadir Zaitov]

Сообщение от ShN

Так вот, вопрос можно переиначить. Существует ли трехзвенная периодическая траектория в бильярде имеющем форму остроугольного треугольника?

Я вот тут не соглашусь. Дальше циклу быть не обязательно. Достаточно вернутся. Когда я думал над этим, то мне казалось, что решений таких может быть очень много.