Новости про число Пи

[Vitaliy Fioktistov]

Сообщение от Evgeniy Sklyarevskiy

Не знал, спасибо.

Вы не знаете, что копипаститео чем пишете? http://arbuz.uz/u_piclub.html

[Evgeniy Sklyarevskiy]

Сообщение от Vitaliy Fioktistov

Вы не знаете, что копипаститео чем пишете? http://arbuz.uz/u_piclub.html

Там нет про не вычисляя предыдущие пришлось читать весь этот бред :-0)

Кстати, я настаиваю на Луне и 10 метрах :-0)

[Shuhrat Ismailov]

Сообщение от Vitaliy Fioktistov

Вы не знаете, что копипаститео чем пишете? http://arbuz.uz/u_piclub.html

там вроде о другом написано

[Vitaliy Fioktistov]

Сообщение от Shuhrat Ismailov

там вроде о другом написано

Второй сверху:

И, если верить работе американского физика Дэвида Бейли и канадских математиков Питера Борвина и Саймона Плофе (David Bailey, Peter Borewin, Simon Plouffe), таких повторений найдено никогда и не будет. Доказали они это просто: составили компьютерную программу, которая вычисляет любой знак в числе Пи почти ничего не зная... о знаках предыдущих. Достижение, считавшееся до сих пор невозможным (Пи представляет собой отношение длины окружности к ее диаметру и допускает вычисление себя со сколь угодно большой точностью — но начать все же нужно с самого первого знака после запятой), стало реальностью благодаря применению теории хаоса: в ней существует предположение, что в нормальных числах одни числовые последовательности неким образом зависят от соседних с ними чисел (т. н. Гипотеза А).

Третий сверху:

Как считает Дэвид Бэйли из Национальной лаборатории Лоуренс Беркли в США, нормальность некоторых математических констант связана с гипотезами из области хаотической динамики. Одна из них, так называемая "гипотеза А", утверждает, что последовательность чисел определенного вида "пляшет" между двумя другими числами. Бэйли и его канадские коллеги - математики Питер Борвин и Саймон Плуфф написали компьютерную программу, вычисляющую произвольную цифру числа "пи", не вычисляя предыдущие, - раньше это считалось невозможным.

[Nadir Zaitov]

Да... но где алгоритм?

[Shuhrat Ismailov]

Сообщение от Nadir Zaitov

Да... но где алгоритм?

Нашел. Основан на формуле Бэйли — Боруэйна — Плаффа (Bailey–Borwein–Plouffe formula):

В английской википедии написано следующее

The discovery of this formula came as a surprise. For centuries it had been assumed that there was no way to compute the nth digit of Pi without calculating all of the preceding n − 1 digits.

Перевод:
Открытие этой формулы стало неожиданностью. На протяжении веков считалось, что не было никакой возможности для вычисления n-й цифры Pi без вычисления всех предыдущих n - 1 цифр

И еще. Я чувствовал, что без модулярной арифметики не обойтись. Кажется, я не ошибся.

Оффтоп:

Осталось проанализировать вычислительные особенности алгоритма, чтобы Надир не ругался

[Vitaliy Fioktistov]

Сообщение от Nadir Zaitov

Да... но где алгоритм?

Вот, нарылось:

From: Simon Plouffe
Newsgroups: sci.math
Subject: The 40 billion'th binary digit of Pi is 1
Date: 5 Oct 1995 23:20:57 GMT
Organization: CECM


THE TEN BILLIONTH HEXADECIMAL DIGIT of Pi is 9

By: Simon Plouffe, Peter Borwein and David Bailey.

The following is part of a paper titled "On The Rapid Computation of
Various Polylogarithmic Constants". The full text, as well as
Fortran code, is available in

http://www.cecm.sfu.ca/~pborwein/

as P123 under the link "Computing Pi and Related Matters".

ABSTRACT:

We give algorithms for the computation of the d-th digit of certain
transcendental numbers in various bases. These algorithms can be
easily implemented (multiple precision arithmetic is not needed),
require virtually no memory, and feature run times that scale nearly
linearly with the order of the digit desired. They make it feasible to
compute, for example, the billionth binary digit of log(2) or pi on a
modest work station in a few days run time.

Indeed we computed the 10 billionth hexadeximal digit of pi as well as
the billionth hexadecimal digits of pi^2, log(2) and log^2(2), the
billionth decimal digit of log (9/10) and the five billionth decimal
digit of log(1 - 10^{-96}).


These calculations rest on three observations. First, the d-th digit
of 1/n is "easy" to compute. Secondly, this scheme extends to
certain polylogarithm and arctangent series. Thirdly, very special
types of identities exist for certain numbers like pi, pi^2, log(2) and
log^2(2). These are essentially polylogarithmic ladders in an integer
base. A number of these identities that we derive in this work appear
to be new, for example the critical identity for the binary digits of
pi is:

       infinity
        -----
        \        -n    /    4         2         1         1    \
 pi =    )     16     |  ------- - ------- - ------- - -------  |
        /              \ 8 n + 1   8 n + 4   8 n + 5   8 n + 6 /
        -----
        n = 0

################################################## ######################

Various strings of output are given below. The fourth entry, for
example, gives the 10^10-th through 10^10+13-th hexadecimal digits of
pi after the "decimal" point. Converting this to base two gives the
folowing string of binary "digits" of pi starting at the 40 billionth
place:

10010010000111000111001111000110100000111000111110 110010...


CONSTANT: BASE: POSITION: DIGITS FROM POSITION:

pi 16 10^6 26C65E52CB4593
10^7 17AF5863EFED8D
10^8 ECB840E21926EC
10^9 85895585A0428B
10^10 921C73C6838FB2


log(2) 16 10^6 418489A9406EC9
10^7 815F479E2B9102
10^8 E648F40940E13E
10^9 B1EEF1252297EC


pi^2 16 10^6 685554E1228505
10^7 9862837AD8AABF
10^8 4861AAF8F861BE
10^9 437A2BA4A13591

log^2(2) 16 10^6 2EC7EDB82B2DF7
10^7 33374B47882B32
10^8 3F55150F1AB3DC
10^9 8BA7C885CEFCE8


log(9/10) 10 10^6 80174212190900
10^7 21093001236414
10^8 01309302330968
10^9 44066397959215


=============


/* This program employs the recently discovered digit extraction scheme
to produce hex digits of pi. This code is valid up to ic = 2^24 on
systems with IEEE arithmetic. */

/* David H. Bailey 960429 */

#include < stdio.h >
#include < math.h >

main()
{
double pid, s1, s2, s3, s4;
double series (int m, int n);
void ihex (double x, int m, char c[]);
int ic = 1000000;
#define NHX 16
char chx[NHX];

/* ic is the hex digit position -- output begins at position ic + 1. */

s1 = series (1, ic);
s2 = series (4, ic);
s3 = series (5, ic);
s4 = series (6, ic);
pid = 4. * s1 - 2. * s2 - s3 - s4;
pid = pid - (int) pid + 1.;
ihex (pid, NHX, chx);
printf ("Pi hex digit computation\n");
printf ("position = %i + 1\n %20.15f\n %12.12s\n", ic, pid, chx);
}

void ihex (double x, int nhx, char chx[])

/* This returns, in chx, the first nhx hex digits of the fraction of x.
*/

{
int i;
double y;
char hx[] = "0123456789ABCDEF";

y = fabs (x);

for (i = 0; i < nhx; i++){
y = 16. * (y - floor (y));
chx[i] = hx[(int) y];
}
}

double series (int m, int ic)

/* This routine evaluates the series sum_k 16^(ic-k)/(8*k+m)
using the modular exponentiation technique. */

{
int k;
double ak, eps, p, s, t;
double expm (double x, double y);
#define eps 1e-17

s = 0.;

/* Sum the series up to ic. */

for (k = 0; k < ic; k++){
ak = 8 * k + m;
p = ic - k;
t = expm (p, ak);
s = s + t / ak;
s = s - (int) s;
}

/* Compute a few terms where k >= ic. */

for (k = ic; k <= ic + 100; k++){
ak = 8 * k + m;
t = pow (16., (double) (ic - k)) / ak;
if (t < eps) break;
s = s + t;
s = s - (int) s;
}
return s;
}

double expm (double p, double ak)

/* expm = 16^p mod ak. This routine uses the left-to-right binary
exponentiation scheme. It is valid for ak <= 2^24. */

{
int i, j;
double p1, pt, r;
#define ntp 25
static double tp[ntp];
static int tp1 = 0;

/* If this is the first call to expm, fill the power of two table tp. */

if (tp1 == 0) {
tp1 = 1;
tp[0] = 1.;

for (i = 1; i < ntp; i++) tp[i] = 2. * tp[i-1];
}

if (ak == 1.) return 0.;

/* Find the greatest power of two less than or equal to p. */

for (i = 0; i < ntp; i++) if (tp[i] > p) break;

pt = tp[i-1];
p1 = p;
r = 1.;

/* Perform binary exponentiation algorithm modulo ak. */

for (j = 1; j <= i; j++){
if (p1 >= pt){
r = 16. * r;
r = r - (int) (r / ak) * ak;
p1 = p1 - pt;
}
pt = 0.5 * pt;
if (pt >= 1.){
r = r * r;
r = r - (int) (r / ak) * ak;
}
}

return r;
}

[infoliokrat]

Сообщение от Vitaliy Fioktistov

Вот, нарылось:

"Прошу простіть велікодушно", ВОПРОСОВ тоже ТРИ нарылось?
1. информационный: как ВАС и спрашивали: а по времени это конкурирует каким образом? (с вычислением и БЕЗ вычисления предыдущих? Я на своем не проверю.... )
2. Если не затруднит, ТО ВАШЕ лично мнение какое? Сколько шт. цифр числа ПИ "не для куражу надо вычислять?"
3. С учетом непоколебимости уверенности (пока), что "защита информации" требует... макс. числа знаков- какого именно? (чтобы комп всю жизнь считал? Этоже ТОЖЕ будет конечное число...)

[infoliokrat]

Сообщение от Nadir Zaitov

после ЗПТ может быть ЛЮБАЯ комбинация цифр в подобных числах). Это не так. Вот вам задачка, чтоб сохранить ясность ума. Допустим...

Уточните, что "Это не так":
1. Это= ЛЮБАЯ комбинация цифр
2. не = не СОВСЕМ (до какого количества цифр ОДИНАКОВЫХ подряд ТАК?)
3. ТАК = а как именно не так?
(информационно=субъективно=объективно?) Для НЕ всех систем счисления, по вашему СУБЪЕКТИВНОМУ взгляду, по объективным ограничениям (времени, ВСЕЛЕНСКОНАТУРАЛЬНЫМ параметрам, по НЕТИЗВЕСТНЫМ пока причинам?)
Что касается, задачка, чтоб сохранить ясность ума. - то в данной теме данная задачка ОНА приотодвинута, отодвинута (задвинута на периферию) ДАННЫМ Наташей сообщением :

Сообщение от Наташа

можно посчитать любой знак числа Пи не вычисляя предыдущие

поэтому УТАЩУ ка ЕЁ
(Задачку только!) к себе (в свою тему, о расходимости ГР)

Сообщение от Наташа
а еще можно посчитать любой знак числа Пи не вычисляя предыдущие
Не знал, спасибо. Интересно, как это..

[Nabiev Toirkhoja]

Число Пи в пикселах


Дизайн-студия TWO-N сгенерировала гипнотическое изображение, где пикселами закодированы четыре миллиона цифр после запятой в числе Пи. Математическую константу ещё никто не записывал таким образом.



В апплете TWO-N закодировано четыре миллиона первых знаков после запятой. Картинка масштабируется, можно посмотреть легенду с цифрами. Есть поиск произвольных последовательностей.


Кстати, студия TWO-N продаёт цветные плакаты с первым миллионом пикселов — оказывается, на числе Пи можно даже зарабатывать.