Новости про число Пи
 

Почему-то этот ряд неожиданно дает число Пи:

x = x + Sin(x + Sin(x + Sin(x + Sin(x + Sin(x + Sin(x + Sin(x)))))))

И рождает несколько вопросов.

Подробности в арбузном блоге http://blog.arbuz.uz/2009/02/15/novosti-pro-chislo-pi/

x=x+sin(x) - это один из древнейших итерационных алгоритмов вычисления числа Пи. Скорость вычисления числа - 2n точных чисел, при n точных числах в предыдущей итерации. Скорость схождения действительно фантастическая.

Закономерность есть. Если исходное число больше пи менее, чем в 2 раза - получится пи. Если исходное число больше пи более, в 2 раза, но менее, чем в 3 раза - 3 пи.... итд.

Тогда почему в окресности 0 Пи не сходится к 0. Я вообще удивлен, что сходится к 2*Пи. Должно сходится к точкам (2n+1)*Пи. Это было бы логично, так как 2n*Пи для x=x+sinx не является устойчивым решением.

Странно, что я его не знал - хотя копал тему и заюзал почти все алгоритмы вычисления Пи.

Кстати проверил. 6,5, 7, 8, 9 - сходятся к 3*Пи. Очипятка там. И к 6Пи ничего не сходится, а сходится к 7Пи.

В институте с помощью этого алгоритма находил до 10 тыс. точных знаков. Дальше были проблемы с памятью. Лень было на диски все сбрасывать :) Если найду дома, сброшу Вам программу на Паскале.

А Паскаль откуда брал синус? Вложенная функция тоже через ряды считается?

Ряд Тейлора. Считается быстро за счет факториала. Самое сложное было - синус быстро подсчитать. Одна итерация в результате шла до 6 часов. (Пришлось писать самому библиотеку со своей математикой больших чисел)

Обещанное во вложении.

Используется еще более быстрый итерационный алгоритм: x=x+sin(x)+sin(x)^3/6 - дает в 4 раза больше точных знаков (если не больше - должно быть в 8 раз больше - нужно формулу вспомнить) при начальной точности в N знаков.

Заметьте, что синус нужно считать только 1 раз. Доказывалось через разложение arctg(1)=Пи/4, однако уже не помню доказательство. Могу подумать на досуге и дать "следующий член" в разложении для еще более быстрого подсчета Пи.

Оффтоп:

ЕС, может тему перенести в "Разминку мозгами"?