Задачки по геометрии

[b_a_lamut]

Сообщение от Наташа

лучше бы предлагал ученикам самим доказывать -существующие теоремы в место каких то частных случаев

Здесь я согласен.
Не знаю, правильно ли я понял задачу, вот, что получилось. Интересно, совпадает ли всё это с теорией?

[Barbedo]

Сообщение от Dilshod Bobokulov

Около правильной четырехугольной пирамиды SABCD с основанием ABCD описана сфера радиуса 24. Сфера радиуса 32 с центром на ребре SB проходит через вершины S, A, C. Найти длину высоты пирамиды.

Пусть сторона основания равна а, высота пирамиды h, радиус описанной сферы пирамиды r, радиус сферы с центром в точке Q на ребре SB R, расстояние между центрами O и Q равно с, боковое ребро пирамиды равно b.
(r^2-(a/2^0,5)^2)^0,5 + r = h (I)
Заметим, что точки A,S,C принадлежат обеим сферам, линией пересечения сфер является окружность, проходящая через эти точки, следовательно, отрезок OQ перпендикулярен плоскости ASC, высоте h и параллелен диагонали DB основания пирамиды. Тогда
с^2=R^2-r^2 = 8*7^0,5 (II)
и из подобия треугольников HSB и OSQ
(a/2^0,5)/c=h/r
откуда
a/2^0,5=ch/r (III)
Подставив (III) в (I), имеем:
(r^2-c^2h^2/r^2)^0,5 + r = h.
После упрощения получаем:
h=2r^3/(r^2+c^2)=27.

[Наташа]

Сообщение от Barbedo

Пусть сторона основания равна а, высота пирамиды h, радиус описанной сферы пирамиды r, радиус сферы с центром....

Супер -а у меня было все так громоздко...

Сообщение от Barbedo

Заметим, что точки A,S,C принадлежат обеим сферам, линией пересечения сфер является окружность, проходящая через эти точки, следовательно, отрезок OQ перпендикулярен плоскости ASC, высоте h и параллелен диагонали DB основания пирамиды.

-этого я и близко не увидела...

[b_a_lamut]

Сообщение от Barbedo

После упрощения получаем:
h=2r^3/(r^2+c^2)=27.

Эх, у меня ножовка была кривая и, потеряв ориентацию в пространстве, распилил не в том месте конструкцию
И всё же, интересно, не легче ли найти высоту методом построения на плоскости, если, конечно, инструмент в порядке и с ориентацией нормально, тем более, что размеры есть, а значит и есть чем померить?

[Barbedo]

Сообщение от Dilshod Bobokulov

В правильной треугольной пирамиде площадь основания равна 6,2. В пирамиду вписана сфера, точка касания этой сферы с боковой гранью пирамиды совпадает с центром окружности, вписанной в боковую грань. Найти площадь полной поверхности пирамиды.

Пусть основание пирамиды - треугольник ABC, вершина пирамиды D, основание высоты пирамиды H, основание апофемы боковой грани F, центр вписанной сферы O, центр вписаннлой окружности боковой грани DCB - точка Q.
FH=FQ как касательные к сфере, опущенные из точки F. Следовательно, радиусы вписанных окружностей основания и боковой грани пирамиды равны. Тогда и боковая грань пирамиды является равносторонним треугольником, а пирамида - правильным тетраэдром. Значит, площадь полной поверхности пирамиды равна учетверенной площади основания
S=6,2*4=24,8.

[Evgeniy Sklyarevskiy]

Сообщение от Barbedo

Пусть основание пирамиды - треугольник ABC, вершина пирамиды D, основание высоты пирамиды H, основание апофемы боковой грани F, центр вписанной сферы O, центр вписаннлой окружности боковой грани DCB - точка Q.
FH=FQ как касательные к сфере, опущенные из точки F. Следовательно, радиусы вписанных окружностей основания и боковой грани пирамиды равны. Тогда и боковая грань пирамиды является равносторонним треугольником, а пирамида - правильным тетраэдром. Значит, площадь полной поверхности пирамиды равна учетверенной площади основания
S=6,2*4=24,8.

Так ведь условие и так начинается со слов «В правильной треугольной пирамиде...» — значит это автоматом тетраэдр без всяких вписанных сфер???

[Barbedo]

Сообщение от Evgeniy Sklyarevskiy

Так ведь условие и так начинается со слов «В правильной треугольной пирамиде...» — значит это автоматом тетраэдр без всяких вписанных сфер???

Отнюдь. Пирамида называется правильной, если в основании её правильный многоугольник и вершина пирамиды проецируется в центр основания, так что боковушки могут быть и равнобедренными.

[Dilshod Bobokulov]

Спасибо Barbedo, у меня тоже вышло h=27.
Но метод не такой простой как у Вас. Вы не перестаете меня удивлять!

[b_a_lamut]

Задача от Barbedo: http://geom.uz/?p=291#respond

Ползучие вершины Пятая Всероссийская олимпиада по геометрии.

На плоскости даны три параллельные прямые. Найдите геометрическое место центров вписанных окружностей треугольников, вершины которых расположены (по одной) на этих прямых.

[Nadir Zaitov]

Сообщение от b_a_lamut

На плоскости даны три параллельные прямые. Найдите геометрическое место центров вписанных окружностей треугольников, вершины которых расположены (по одной) на этих прямых.

Либо полоса (пучек прямых, паралельных данной) и тогда нужно найти параменты полосы (крайние прямые), либо прямая, что было бы удивительно - для этого центр вписанной окрухности не должен зависеть от x, если предположить, что прямые паралельны оси иксов.