Парабола и прямая

[Shuhrat Ismailov]

Сообщение от Barbedo

было бы крайне интересно решить задачу на плоскости, без выхода на конус и его проекции.

Как я сказал выше, точка , которая, во-первых, лежит на прямой PQ, и ,
во-вторых, находится на одинаковом расстоянии от фокуса F и директрисы d является искомой точкой пересечения параболы и прямой, так как она удовлетворяет основному свойству параболы и тем самым, принадлежит ей.
Мы рассмотрим случай, когда PQ пересекается с директрисой.

Построение.
Продолжим прямую PQ, до пересечения Е с директрисой.
Построим прямую, проходящую через фокус Е перпендикулярно d. Пусть она пересекается с директрисой d в точке С, а с прямой PQ в точке D.
Построим прямую, проходящую через фокус Е параллельно PQ. Пусть она пересекается с директрисой d в точке В.
Построим прямую, проходящую через В перпендикулярно d.. Пусть она пересекается с прямой PQ в точке А.
Докажем, что точка А – искомая, т.е является точкой пересечения параболы и прямой PQ.
То что она лежит на прямой PQ следует из построения.
Для доказательства равенства AB=AF имеем пока следующее (см. рисунок):
1) Угол BFС равен углу EDC (обозначим их через α )
2) Угол FBC равен углу DEC (они равны 90-α )
3) Так как углы ABC и DCF прямые, то ABF=90-(90- α )= α .
Осталось доказать, что угол AFВ равен α.
Кто возьмется?

[Barbedo]

Сообщение от Nadir Zaitov

Это было решение?

Это решение, что называется, «в лоб». Поскольку в нашем распоряжении только циркуль и линейка, мы можем искать точки параболы, лежащие на каких-либо доступных нам окружностях или прямых. Поскольку каждая точка параболы принадлежит какой-то из образующих конуса, плоским сечением которого данная парабола является, логично найти образующие, лежащие в плоскости, которой принадлежит данная прямая PQ.
Для начала нам нужно выбрать конус и найти такое положение секущей плоскости, которое даст в сечении заданную параболу. Можно показать, что данную параболу проще всего получить как сечение прямоугольного кругового конуса плоскостью, расположенной на расстоянии p от одной из его образующих.
Разместим исходные данные на горизонтальной плоскости проекций H. Начертим прямоугольный конус на вертикальной плоскости проекций V и проведем параллельно горизонтальной его образующей секущую плоскость на расстоянии p от нее. Размеры конуса выберем такие, чтоб данные точки P и Q оказались в пространстве между его вершиной и основанием. Введем также дополнительную плоскость проекций B как вид на конус со стороны его вершины.
Проведем прямую PQ. Построим проекции P’ и Q’ данных точек в вертикальной плоскости. Они лежат в плоскости параболы. В горизонтальной плоскости проведем из вершины параболы O лучи OP и OQ, в вертикальной плоскости лучи OP’ и OQ’ до пересечения с основанием конуса в точках K’ и L’ соответственно. (Основание конуса является у нас границей между вертикальной V и дополнительной B плоскостями проекций.) Найдя с помощью проекционных связей расположение точек K и L на горизонтальной плоскости, строим их и на дополнительной проекции – точки K’’ и L’’. Проведем в основании конуса хорду M’’N’’ через точки K’’ и L’’. Хорда M’’N’’ также будет принадлежать плоскости OPQ. Плоскость OPQ пересекается с плоскостью параболы по прямой PQ, следовательно точки пересечения образующих OM’’ и ON’’ с плоскостью параболы принадлежат параболе! Строим сначала проекции концов хорды M’ и N’ в вертикальной плоскости, затем строим образующие OM’ и ON’ в вертикальной плоскости и на их пересечении с плоскостью параболы отмечаем точки T’ и S’. Осталось только спроецировать их на горизонтальную плоскость и найти их место на прямой PQ.
T и S – искомые точки.

Да, возможно, следует сделать оговорку, что начертательная геометрия в некоторой степени выходит за рамки элементарной. Но в какой степени? Ведь ничего кроме циркуля и линейки мы в построении не использовали.

[Barbedo]

Сообщение от Shuhrat Ismailov

Как я сказал выше, точка , которая, во-первых, лежит на прямой PQ, и ,
во-вторых, находится на одинаковом расстоянии от фокуса F и директрисы d является искомой точкой пересечения параболы и прямой, так как она удовлетворяет основному свойству параболы и тем самым, принадлежит ей.
Мы рассмотрим случай, когда PQ пересекается с директрисой.

Построение.
Продолжим прямую PQ, до пересечения Е с директрисой.
Построим прямую, проходящую через фокус Е перпендикулярно d. Пусть она пересекается с директрисой d в точке С, а с прямой PQ в точке D.
Построим прямую, проходящую через фокус Е параллельно PQ. Пусть она пересекается с директрисой d в точке В.
Построим прямую, проходящую через В перпендикулярно d.. Пусть она пересекается с прямой PQ в точке А.
Докажем, что точка А – искомая, т.е является точкой пересечения параболы и прямой PQ.
То что она лежит на прямой PQ следует из построения.
Для доказательства равенства AB=AF имеем пока следующее (см. рисунок):
1) Угол BFС равен углу EDC (обозначим их через α )
2) Угол FBC равен углу DEC (они равны 90-α )
3) Так как углы ABC и DCF прямые, то ABF=90-(90- α )= α .
Осталось доказать, что угол AFВ равен α.
Кто возьмется?

Боюсь, Шухрат, что так точки параболы не найти.
Предположим, что найденная таким образом точка А принадлежит данной параболе. Проведем через нее прямую P'Q', отличную от PQ, и представим, что вместо прямой PQ нам дана в условии прямая P'Q'. Тем не менее, и в этом случае мы должны были бы, пользуясь тем же методом построения, получить точку A. Строим FB' || P'Q', проводим B'A' || CF. Получаем точку A', отличную от А, кроме того, видим, что A'F ≠ A'B'.