Треузеркало

[Shuhrat Ismailov]

Сообщение от Nadir Zaitov

Вы мне вот эту деталь еще раз объясните. Как Вы к ней пришли? Для меня факт не совсем очевидный.

Это следует из известного факта, что ортотреугольник отсекает от данного треугольника треугольник подобный данному (причем коэффициент подобия равен косинусу отсекаемого угла). Если нужно, попробую доказать этот самостоятельный факт.

[Shuhrat Ismailov]

Сообщение от Nadir Zaitov

Я вот тут не соглашусь. Дальше циклу быть не обязательно. Достаточно вернутся. Когда я думал над этим, то мне казалось, что решений таких может быть очень много.

Хотя ТС звучал так: Можно ли....? Я привел пример, поясняющий ответ "Можно" и тему можно было бы закрыть.
Но Ваш вопрос естественен для продолжения изучения задачи. Он означает извечный вопрос типа " а есть ли другие решения?
Общие соображения подсказывают, что после однократного возвращения траектории возникнет бесконечный цикл.
Приведу два аргумента.
1) Пусть существует траектория динамической системы, имеющий лишь один виток, а потом уходящая во вне. Перенесем время. Тогда в точке ухода нарушается единственность (в точке ухода получаются два вектора скорости).

Оффтоп:

Такие системы без единственности не являются динамическими системами, хотя тоже изучаются и называются полидинамическими)

2) Можно и так. Пусть f(t) - динамическая система, обладающая свойством f(t)=f(t+T) для некоторого T (условие однократного возврата). Тогда f(t)=f(t+nT) для всякого натурального n (условие многократного возврата, т.е. цикла).

[Nadir Zaitov]

Оффтоп:

Сообщение от ShN

Это следует из известного факта, что ортотреугольник отсекает от данного треугольника треугольник подобный данному

Я этот факт не знал. Просто если брать этот факт за основу (без доказательства в школьном курсе геометрии), то нет смысла доказывать следующий факт, так как можно за основу взять именно его!

[Nadir Zaitov]

Сообщение от ShN

Пусть f(t) - динамическая система, обладающая свойством f(t)=f(t+T)

Как раз этого свойства у нас нет.

Сообщение от ShN

Общие соображения подсказывают, что после однократного возвращения траектории возникнет бесконечный цикл.

Давайте приведу частный пример.

0) Возмем прямую и выберим точку на этой прямой.
1) Построим треугольник по одну сторону от прямой с вершиной в выбранной точке, причем так, чтобы нормаль к прямой восстановленная не оказалась биссектрисой.
2) Построим 2 прямые, касающиеся данного треугольника в двух оставшихся вершинах под прямым углом к биссектрисе соотвествующего угла.
3) Треугольник, получившийся из точек пересечения всех трех прямых будет иметь в себе точку (начальную точку), луч, выпущенный из которого, после двух отражений вернется обратно и заведомо полетит дальше по другой траектории.

PS. Кстати таких точек должно быть много (множество мощности континиума) в каждом треугольнике.