Решить сложное диофантово уравнение со всеми неизвестными

[Nadir Zaitov]

Сообщение от николай москвитин

Ясно, что меня не интересуют равные треугольники.

(3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17), (7, 24, 25), (20, 21, 29), (12, 35, 37), (9, 40, 41)
Все попарно разные, не кратные, попарно соответствуют требованию.

Нужно еще? Читай тут про Пифагоровы числа. Их уже очень много.

[Shuhrat Ismailov]

Сообщение от Nadir Zaitov

Нужно еще? Читай тут про Пифагоровы числа. Их уже очень много.

Примечательно, что не только пифагоровы тройки попарно соответствуют задаче.
Можно целочисленные тройки - решения уравнения
при различных
Пары таких троек доставляют решение уравнения Николая.
Кроме уравнения Пифагора я, например, знаю, как решаются уравнения
,

[Nadir Zaitov]

Сообщение от Shuhrat Ismailov

при различных

Видимо при различных рациональных

[николай москвитин]

Nadir, сегодня дошло... По сути надо решать только уравнения вида {k_1}^2+{k_2}^2={k_3}^2 и k_1=k_4K_5... ну и простейшие линейные уравнения. Это даст решение только для треугольников с разными сторонами. Ещё три случая: разносторонний и равносторонний, разносторонний и равнобедренный и два равнобедренных.

[николай москвитин]

просмотрел все остальные случаи- решать надо те же типы уравнений.

[Nadir Zaitov]

Сообщение от николай москвитин

По сути надо решать только уравнения вида {k_1}^2+{k_2}^2={k_3}^2 и k_1=k_4K_5

А преобразования в студию можно?

[николай москвитин]

4q^2a^2+r^2b^2+p^2c^2-4b^2p^2-c^2q^2-a^2r^2=0.
a^2(4q^2-r^2)+b^2(r^2-4p^2)+c^2(p^2-q^2). Возьмём c>b>a и r>q>p для случая разносторонних треугольников.



4q^2-r^2=d^2 (1)

r^2-4p^2=e^2 (2)

q^2-p^2=f^2 (3)

a^2d^2+b^2c^2-c^2f^2=0
ad=k_1 (4); be=k_2(5); cf=k_3(6).
Можно доказать, что возможны только варианты:
{k_1}^2={k_2}^2+{k_3}^2 (7)

Или
{k_2}^2={k_1}^2+{k_3}^2 (8)

Надо последовательно решить все эти уравнения (1-8) в обратном порядке.

[Nadir Zaitov]

Сообщение от николай москвитин

r>q>p

Если отсортировали a, b и с, то сортировать другие переменные вы не имеете права.

[николай москвитин]

Здравствуйте!

Сообщение от Nadir Zaitov

Если отсортировали a, b и с, то сортировать другие переменные вы не имеете права. __________________

Nadir, но в таком случае не будет выполняться неравенство треугольника либо в знаменателе будет ноль... Хотя конечно что мой опыт в математике и что Ваш опыт...

[Nadir Zaitov]

Сообщение от николай москвитин

Хотя конечно что мой опыт в математике и что Ваш опыт...

r,p,q входят в уравнения не симметрично. Стало быть сортируя их вы ограничиваете количество возможных решений.
Я могу быть неправ в случае, когда сортировка в другом порядке приводит к отсутствию решений.

Что касается неравенства треугольника, то например 2-я и первая сторона могут играть.

николай москвитин, подумал, что следующая "мысля" вас переубедит.

Сделаем такое построение:
Возьмем некоторый "очень" острый угол на плоскости с вершиной в точке A и лучами b и с. "очень" - это, например, меньше 10°. Соответственно на лучах b и с фиксируем некоторые точки B и C.

Причем так, чтобы, например, стороны AС>CB>BA.
Это ведь не будет ведь означать, что все другие треугольники, которые я могу построить на этом угле A должны быть отсортированы именно также. Например, симметричный треугольник относительно биссектрисы будет иметь обратную сортировку: AС<CB<BA