Решить сложное диофантово уравнение со всеми неизвестными

[николай москвитин]

Здравствуйте! Вот уравнение, с которым я никак не мог справиться, несмотря на значительные усилия. Тем не менее идеи были. Это уравнение возникло в процессе решения одной достаточно сложной задачи, и само полегче, чем она.

4q^2a^2 + r^2b^2 + p^2c^2 - 4b^2p^2 - c^2q^2 - a ^2r^2=0
Все переменные- неизвестные целые.

С уважением

[Akmal Bafoev]

примерные границы значений известны или какой то может быть от минус до плюс бесконечности? если ограничены, то тупым перебором попробовать

[николай москвитин]

Сообщение от Akmal Bafoev

примерные границы значений известны или какой то может быть от минус до плюс бесконечности?

вообще все положительны. А вот уже в множестве натуральных чисел значения возможно неограничены. Т.е. это неизвестно- всё равно как неизвестно, бесконечно ли число простых чисел-близнецов (скорее всего, данное уравнение всё же решить проще, чем эту задачу). Могу обрадовать, что есть уже численное решение (там была замена, я сейчас посчитаю для этого уравнения).

[николай москвитин]

вообще нет! Замена была сделана, но она не охватила всех случаев.

[Nadir Zaitov]

николай москвитин, сколько решений Вам нужно?
На самом деле, если вопрос состоит в поиске всех решений, то конечно нужно будет напрягаться.
А так с ходу берите все переменные равной единой константе k - решение.

[николай москвитин]

Сообщение от Nadir Zaitov

А так с ходу берите все переменные равной единой константе k - решение.

Как раз этот случай не соотвествует задаче. По краней мере три числа из указанных должны быть различны.

[николай москвитин]

Сообщение от Nadir Zaitov

николай москвитин, сколько решений Вам нужно?

Все! Но для первого раза хотя бы одно (именно, чтобы три из них были различны, даже вроде нужно, чтобы четыре были различны)! Перебором получится вряд ли, переменных то 6...

[николай москвитин]

Поделюсь ходом рассуждения: заменяем квадраты на переменные первой степени. Получаем "линейное" уравнение (линейное оно относительно новых переменных).
В этом уравнении группируем подобные слагаемые (относительно любых множителей), получаем уравнение и систему. Ну и возвращаемся и решаем ещё шесть уравнений. Правда, вычислять и осуществлять это...

[Nadir Zaitov]

Сообщение от николай москвитин

Как раз этот случай не соотвествует задаче. По краней мере три числа из указанных должны быть различны.

В условии задачи не было.
Тогда так:
b = q
a = p
с = r

Сообщение от николай москвитин

Поделюсь ходом рассуждения: заменяем квадраты на переменные первой степени. Получаем "линейное" уравнение (линейное оно относительно новых переменных).
В этом уравнении группируем подобные слагаемые (относительно любых множителей), получаем уравнение и систему. Ну и возвращаемся и решаем ещё шесть уравнений. Правда, вычислять и осуществлять это...

Поделюсь логикой подбора "хоть одного решения".
Переменные b и q, a и p попарно входят симметрично.
Предположите их равными. Будет шикарный лифт по переменным. Найдите частное решение в виде соотношения от переменных a и b.
По идее r и c тоже симметрично входят, т.е. можно было спуститься и по ним и получить уж очень частное решение от 3-х различных переменных a, b, c - но это уж очень просто.
Достаточно указать a=p, b=q и сразу лифт дает с=r

[николай москвитин]

Надир, расскажу Вам, с чем связано это уравнение.
(a^2+b^2-c^2)/2ab=(p^2+q^2-r^2)/2pq. Я сделал удачную замену: b+a=a’, b-a=b’, с оставляем на месте, аналогично q+p=p’,q-p=q’, r остаётся на месте.
Как видите,в каждой из частей этого равенства переменные равны быть не могут.
Это целочисленные треугольники, у которых есть по равному углу.
Ясно, что меня не интересуют равные треугольники.