Шестнадцать веков тому назад...

[Barbedo]

Если вписанный четырёхугольник имеет перпендикулярные диагонали, то прямая, проходящая через точку их пересечения перпендикулярно одной из его сторон, делит противоположную ей сторону пополам.
Доказать.

[Ferrum]

Сообщение от Barbedo

Если вписанный четырёхугольник имеет перпендикулярные диагонали

У меня сложилось впечатление, что таковым может быть только квадрат.

[JH]

Сообщение от Ferrum

У меня сложилось впечатление, что таковым может быть только квадрат.

Например, такой:

[JH]

Сообщение от Barbedo

Если вписанный четырёхугольник имеет перпендикулярные диагонали, то прямая, проходящая через точку их пересечения перпендикулярно одной из его сторон, делит противоположную ей сторону пополам.
Доказать.

Легко доказывается, что все выделенные цветом треугольники подобны. Так же легко доказывается, что голубые еще и равны.

[JH]

Сообщение от JH

Так же легко доказывается, что голубые еще и равны.

хотя... неправильно
равность голубых треугольников доказывается не так легко
ведь в произвольном они не будут равны
только во вписанном

[Ferrum]

Сообщение от JH

авность голубых треугольников доказывается не так легко

Вроде легко же, если исходить из того, что гипотенуза делится пополам.

Мне кажется надо исходить из свойств:
Четырёхугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда сумма противоположных углов равна 180°
И
Диагонали четырёхугольника перпендикулярны тогда и только тогда, когда суммы квадратов противоположных сторон равны.

[JH]

Сообщение от Ferrum

Вроде легко же, если исходить из того, что гипотенуза делится пополам.

Так нам как раз и надо доказать что гипотенуза делится пополам.

[JH]

Вот то же самое построение для произвольного четырехугольника. Голубые треугольники все так же остались подобными, но не равными.

А вот что меняется от "вписанности" четырехугольника - что-то никак не добью.

[iDead]

Сообщение от JH

Так нам как раз и надо доказать что гипотенуза делится пополам.

Мне вот так удалось доказать: Из верхней вершины верхнего голубого треугольника опустил перпендикуляр на нижний "серо-розовый" треугольник. Потом доказал, что зеленый треугольник равен "голубо-желтому" треугольнику слева. Далее, воспользовался теоремой Фалеса.

[JH]

И все-таки, как оно связано с "вписанностью" четырехугольника? На рисунке ниже вывел его за границы окружности. Все подобия сохранились, кроме равности голубых треугольников.