Тараканы

[Maрия]

Я смотрю, тут мнения разделились: кто-то считает, что тараканы встретятся, и длина пути составит длину квадрата, кто-то говорит, что не встретятся и будут бегать друг за другом до скончания времен.

Это напоминает старейшие парадоксы. Такую как стрела и цель: чтобы стрела долетела, нужно, чтобы она пролетела половину расстояния, затем, чтобы стрела пролетела половину расстояния, нужно, чтобы она пролетела половину половины… и так далее. И если расстояние можно делить на бесконечное множество отрезков, то и сама стрела будет лететь бесконечно долго и в итоге никогда не достигнет цели.

Или еще один парадокс – догонит ли человек черепаху? Насколько я помню, логика сводилась к тому, что черепаха двигалась в 2 (допустим) раза медленнее. Пока человек достигнет первоначального положения черепахи, то она успеет за это время пройти половину этого расстояния. Потом, пока человек пройдет эту новую половину – черепаха убежит на четверть и так далее. Получается, что человек никогда ее не догонит.

Но по сути этого не происходит. Ровно, как и не произойдет такого, что таракашки будут бесконечно бегать друг за другом. Рано или поздно расстояние между ними станет соразмерным их телам, двигаться они уже будут друг по другу.

Лично меня больше занял вопрос не про кривизну траектории, а про ее длину. Вторые сутки пытаюсь вывести универсальную форму расчета длины траектории, в которой за единицу бы принималась длина элитного мадагаскарского таракана в 10 см.

[Nadir Zaitov]

Сообщение от Shuhrat Ismailov

то пройдут они бесконечное расстояние.

Бесконечное число кругов, но расстояние конечно - длинна стороны квадрата

[Nadir Zaitov]

Оффтоп:

Maрия, тролите?

[JH]

Красивые траектории получаются

[Shuhrat Ismailov]

Сообщение от Nadir Zaitov

Бесконечное число кругов, но расстояние конечно - длинна стороны квадрата

Я согласен с тем, что расстояние конечно, так что про бесконечное расстояние цитата не моя.
В голове крутится и мешает думать факт, что в любой момент времени тараканы сидят в вершинах квадрата, сторона которого убывает как функция времени от 25 до нуля.

[JH]

Кстати, вышеуказанный график рисовал при изначальной стороне квадрата 100 единиц, на каждом шаге тараканы пробегают 1 единицу. Суммарно до тех пор, пока не начались повторы из-за слишком большого шага, получилось 145-146 шагов.

Так что наверно расстояние не равно стороне квадрата, скорее стороне, помноженной на корень из 2

[Maрия]

Сообщение от JH

в любой момент времени тараканы сидят в вершинах квадрата

Вы навели на хорошую мысль.

Действительно, положение тараканов всегда остается в вершинах квадрата. С каждым шагом дискретизации длина стороны квадрата уменьшается. Только я не могу понять, откуда взялся вывод об увеличении траектории в корень из 2 раз.

По моим рассуждениям, в каждый момент времени таракан за шаг дискретизации бежит по направлению к другому по прямой линии (а не под углом 45 градусов), и тем самым приближается к другому таракану на этот самый шаг дискретизации. Следовательно, в каждый момент времени сторона квадрата уменьшается на единицу шага дискретизации, а не на единицу шага дискретизации помноженной на корень из 2.

Отсюда логически рассуждая, вывод – длина траектории таракана равна длине стороны изначального квадрата.

[JH]

Сообщение от Maрия

Вы навели на хорошую мысль.

Действительно, положение тараканов всегда остается в вершинах квадрата. С каждым шагом дискретизации длина стороны квадрата уменьшается. Только я не могу понять, откуда взялся вывод об увеличении траектории в корень из 2 раз.

По моим рассуждениям, в каждый момент времени таракан за шаг дискретизации бежит по направлению к другому по прямой линии (а не под углом 45 градусов), и тем самым приближается к другому таракану на этот самый шаг дискретизации. Следовательно, в каждый момент времени сторона квадрата уменьшается на единицу шага дискретизации, а не на единицу шага дискретизации помноженной на корень из 2.

Отсюда логически рассуждая, вывод – длина траектории таракана равна длине стороны изначального квадрата.

Предположим, в каждую единицу времени таракан пробегает одну единицу расстояния. Если бы второй таракан был неподвижен, то расстояние между ними сократилось бы на единицу. Но! Второй таракан пробежал за это время примерно под углом 90 градусов к траектории первого таракана ровно одну единицу, и поэтому расстояние между ними не равно сторона минус один, а чуть больше. И так на каждом шаге. Чтобы траектория была равна стороне квадрата, нужно, чтобы второй таракан оставался на месте или расстояние между тараканами после каждого шага уменьшалось ровно на длину этого шага, чего нет на самом деле. Думаю, все-таки с корнем из 2 поближе к истине.

[JH]

Из рисунка (если он правильный, в чем я почти уверен) видно (если оценивать длину кусков траектории до пересечения с очередной осью координат), что суммарно траектория окажется больше длины стороны.

[JH]

Сообщение от Maрия

По моим рассуждениям, в каждый момент времени таракан за шаг дискретизации бежит по направлению к другому по прямой линии (а не под углом 45 градусов), и тем самым приближается к другому таракану на этот самый шаг дискретизации.

Вот здесь несостыковка. За этот же промежуток времени другой таракан от него удаляется, так что сближаются они не на шаг дискретизации