Тесный коридор

[Nadir Zaitov]

Задался решить задачу системно - т.е. правильно.




Будем считать, что Пианино касается одной стороной точки О - это и означает, что мы движимся "впритирку".

Введем систему координат.

OХ - горизонтальная прямая, проходящая через точку О.
OY - вертикальная прямая (только согласно рисунку Barbedo, на практике то она также горизонтальна)

Пусть у - ордината точки M.

Ясно, что она не больше W (тогда пианино уже повернуто) и не меньше -L (тогда пианино еще не начало поворот.

Далее рассуждения таковые. Нам нужно найти максимум при разных M (c собственным углом поворота). расстояния от начала координат до точки R по оси OY. Чем дальше R находится - тем шире должна быть ширина коридора, в которую такое пианино можно затолкать.

Расстояние от точки М до точки O равно по теореме пифагора: y²+k1², где k1 - ширина коридора до поворота.

Другими словами нам нужно максимизировать функцию f(y)=y+L*cos(RMP), где RMP - угол, который также зависит от точки М (в каждой точку свой поворот).

Вычислим функцию f(y):

cos (угла OMN) = w/sqrt(y²+k1²)
sin (угла OMN) = sqrt(1-sin²(угла OMN))=sqrt(y²+k1²-w²)/sqrt(y²+k1²)
cos (угла OMS) = y/sqrt(y²+k1²)
sin (угла OMS) = k1/sqrt(y²+k1²)

cos(RMP) = cos(90° - NMS) = sin(NMS)
sin(NMS) = sin(OMS - OMN)=sin(OMS)*cos(OMN)-cos(OMS)*sin(OMN)

f(y)=y+L*(k1*w-у*sqrt(y²+k1²-w²))/(y²+k1²)

Условие касание точки О, при этом запишется в виде:

y²<L²+w²-k1² или

Далее нужно бы по хорошему подсчитать производную, ее приравнять к нулю и поискать что получится, но я леньтяй и я сделаю это в Excel и тупо подберу результат при данных k1, L и w.

И ответ получился, что ширина коридора после поворота была не менее 73,7 см.

Отличная задача! На вид простая, а на вкус - тяжело решаемая.