Обитаемый полуостров

[Shuhrat Ismailov]

Сообщение от Nadir Zaitov

Даже не важно где лежит

Более того, если островной угол будет больше чем 90 градусов, то кратчайшее расстояние - это от домика до вершины угла и обратно. И тут тоже не важно , лежит домик на биссектрисе этого угла или нет.

[Shuhrat Ismailov]

Сообщение от Barbedo

Пусть А - вершина угла, D - дом лесника. Опустив на берега перпендикуляры DB и DC, соединим их основания отрезком BC. Найдем точку F на продолжении отрезка AD, такую, что луч света, пришедший из точки F в точку B, отразившись от берега AB, попадет в точку C и, отразившись от берега AC, вернется в точку F. Для этого проведем прямую BF так, что <СBD=<DBF и прямую CF' так, что <DCF'=<DCB. Легко доказать, что точки F и F' совпадают. К построенному треугольнику замкнутой траектории луча света FBC применим гомотетию с центром в точке А и коэффициентом k=|AD|/|AF|. Полученный треугольник DB'C' и есть кратчайший путь лесника.

Без гомотетии.
Пусть А - вершина угла, D - дом лесника.
Отразим дом лесника D относительно сторон AB и AC угла получим точки D” и D’.
Построим отрезок D”D’ . Отметим B’, C’ - точки пересечения этого отрезка со сторонами угла.
Полученный треугольник DB'C' и есть кратчайший путь лесника.

[Nadir Zaitov]

Сообщение от Наташа

т.е. мой триугольник отраженный а являеться ли всякий отраженный триугольник таким как у меня?

Если мы понимаем слово "отраженный" одинаковым образом, то он единственный (нет степеней свободы при построении). Шухрат Исмаилов даже показал, как строить

[Nadir Zaitov]

Сообщение от Shuhrat Ismailov

Без гомотетии. Пусть А - вершина угла, D - дом лесника. Отразим дом лесника D относительно сторон AB и AC угла получим точки D” и D’. Построим отрезок D”D’ . Отметим B’, C’ - точки пересечения этого отрезка со сторонами угла. Полученный треугольник DB'C' и есть кратчайший путь лесника.

Действительно более наглядно, надеюсь теперь Наташа согласится, что кратчайшее расстояние - между двумя зеркальными образами - прямая, а не ломанная Кстати при этом (как и в зеркале) угол падения равен углу отражения.

[Nadir Zaitov]

Сообщение от Наташа

доказательство потом приведу когда настроение будет много писать

Все ж приведите. Я был не прав, соглашаюсь. Углы не могут быть с одной стороны.

[Shuhrat Ismailov]

Осталось для полноты доказать, что треугольник DB'C' и есть кратчайший путь лесника.
Пусть DXY – произвольный треугольник с вершинами X и Y, лежащими на берегах AB и AC соответственно (например как на рисунке).


Выясним, при каких X, Y периметр треугольника DXY минимален.
Так как D” и D’ - точки, симметричные точке D относительно сторон AB и AC угла, то справедливы равенства DX = D” X и DY = D’Y
Отсюда следует, что периметр треугольника DXY совпадает с длиной ломаной D”XYD’.
Заметим, что длина ломаной D”XYD’ минимальна , когда точки D”,X,Y, D’ лежат на одной прямой (т.е. это отрезок), а это возможно лишь в случае, когда X совпадает с B', а Y совпадает с С'.
Значит, треугольник DB'C' и есть кратчайший путь лесника.

Оффтоп:

Легко заметить, что возможны и иные варианты взаимного расположения точек X,Y, B', C', отличные от указанного на рисунке. Однако на решение это никоим образом не влияет, что меня чрезвычайно порадовало, так как освободило меня от манипуляций мышкой в Пайнте. Впрочем, если кому-нибудь так важно для восприятия решения, то можно попросить b_a_lamut а об услуге.

[Evgeniy Sklyarevskiy]

Теперь осталось убедиться, что маршруты от Barbedo и от Shuhrat Ismailov (и от лесника) совпадают.

[Barbedo]

Сообщение от Evgeniy Sklyarevskiy

Теперь осталось убедиться, что маршруты от Barbedo и от Shuhrat Ismailov (и от лесника) совпадают.

думаю, это очевидно из построений - падений и отражений лесника

[Nadir Zaitov]

Сообщение от Evgeniy Sklyarevskiy

Теперь осталось убедиться, что маршруты от Barbedo и от Shuhrat Ismailov (и от лесника) совпадают.

Evgeniy Sklyarevskiy, Вы тему не читаете. У них одно и тоже! Принцип построения идентичен. Шухрат Исмаилов показал на графике то, что уже было доказано тут, кстати на графике очень красиво. Остался нерешенным вопрос с Наташей. Всеж можно ли доказать, что построение с углами Альфа и Бетта и наши "отраженные" треугольники одно и то же!