Как у нас с перегибами?
 

У Вас есть кусок бумаги в форме равностороннего треугольника АВС. С одной стороны бумага красная, с другой - зеленая. Вы один раз перегибаете бумажный треугольник так, что вершина А совмещается с серединой стороны ВС. При этом у Вас получились два равных красных равносторонних треугольника A"CD и A"EB.

Можно так перегнуть треугольник АВС, что площади красных треугольников A"CD и A"EB будут соотноситься как один к двум. В этом и состоит задача - найти нужное положение точки А"!
Пользоваться измерениями и вычислениями не разрешается - задачу необходимо решить с помощью циркуля и линейки.

http://savepic.net/2138200.jpg

Кстати, если решение еще и красивое, то я вновь убеждаюсь, что мало что знаю в геометрии.

Треугольники A"CD и A"EB подобны с коэффициентом подобия, равным 2.
https://img.uforum.uz/images/amfrtuq4695678.jpg
Действительно, во-первых
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...gle%20C=60^{0}.
Во - вторых, так как
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...0DA''C
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...0DA''C, то и http://latex.codecogs.com/gif.latex?...0EA''B
Значит, получим соотношение http://latex.codecogs.com/gif.latex?A''C%5Csqrt{2}=EB
Легко отдельно построить прямоугольный равнобедренный треугольник с гипотенузой, равной http://latex.codecogs.com/gif.latex?EB

Оффтоп:

Чтобы получить такой треугольник, достаточно взять окружность с диаметром http://latex.codecogs.com/gif.latex?EB, восставить перпендикуляр к середине диаметра, соединить точку пересечения этого перпендикуляра с окружностью и точки http://latex.codecogs.com/gif.latex?E,B
https://img.uforum.uz/images/besfszq8510094.jpg

Его катет будет равен http://latex.codecogs.com/gif.latex?A''C. Отложим циркулем такой отрезок от вершины http://latex.codecogs.com/gif.latex?C и будет всем счастье

но ведь на рисунке A''C < EB ????

Блин. Не обращаю внимание на мелочи. Читаю через строку видимо, хотя раньше этим не болел. Я искал решение в общем виде... тупица.

Я исправил, спасибо. (уже который раз путаю ЕС с АС гипотенузу с катетом

А длину отрезка EB где возьмем, Шухрат?

https://img.uforum.uz/images/nkqnhtd5236882.png
Поскольку отрезок AA'' перпендикулярен линии сгиба и делится ею пополам, треугольники ADM и A''DM равны. Также равны треугольники AEM и A''EM. Соответственно, AD=A''D и AE=A''E. Из найденного Шухратом подобия треугольников A''CD и EBA'' следует, что A''E=A''D*2^0,5.
Тогда и AE=AD*2^0,5.
Возьмем на стороне AC произвольную точку D', а на стороне AB отложим отрезок AE'=AD'*2^0,5. Проведем из A перпендикуляр к D'E' до пересечения с BC в точке A''. Срединный перпендикуляр к AA'' даст нам искомую линию сгиба DE.

А как это будет в цифрах выглядеть? Например, сторона треугольника равна 100.
Что-то меня сомнение гложет в отношении отношений. Где просчитался?

https://img.uforum.uz/images/yvtfzzr3651284.jpg

Проверено электроникой:
https://img.uforum.uz/images/nlzxssf7882771.png
сторона 100
площадь синего 562.6667
площадь красного 1125.3335

Просчитались, видимо, при построении, коллега.