Фигурки из спичек
 

Из трех спичек можно составить 3 фигурки (так, чтобы спички касались кончиками): полоску 3 в ряд, звезду и треугольник.

- сколько фигурок можно составить из 4 спичек? Из 5? Из N?

- сколько фигурок можно составить с учетом расположения головки спички?

А это как?

три спички касаются в одной точке и торчат под 120 градусов.

И ещё буквы можно: Г, И, П, Ч.

Можно, но это будет то же самое:

Г эквивалентно с топологическом смысле полоске, от того, что одну спичку повернули фигура не изменилась, они все следуют друг за другом, то же относится и к П и к И.

а вот Ч не бывает так как головки только должны соприкасаться, к боку спички прислонять нельзя.

А да, точно.

На плоскости?
В пространство не выходить можно?

Пока на плоскости.
В пространство - следующий шаг.
Потом - в четырехмерное... :-0)

ЕС! Часть этой задачи вы здесь задавали. Там Надир тоже про плоскость уточнял. Её тогда никто не решил.
Стоит задуматься над этой частью даже на плоскости.
из 4 - 5 фигурок
из 5 - 10 фигурок
Учитывая, что из одной и двух спичек можно составить
по одной фигуре, получим
последовательность
1 1 3 5 10....
Для N нужно подумать побольше...
On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
выдает формулу
a(n)=((2*n+3)*F(n)-n*F(n-1))/5, где F(n) - Fibonacci numbers.
Остается ее проверить.

Проверил. Из 6 спичек можно составить 20 фигурок. Эта формула не верна.