Ширма в углу

[Nadir Zaitov]

Есть ширма состоящая из двух створок длинной 1 метр.
Какую наибольшую площадь можно ею отгородить от угла комнаты?

(Задачка старая как мир, но именно поэтому может быть интересна,так как многими забыта :)).

[Shuhrat Ismailov]

Задачка старая как мир, но именно поэтому может быть интересна,так как многими забыта
Не забыта
http://uforum.uz/showthread.php?t=14764
Есть ровный берег у моря, вдоль которого губернатор разрешил Вам прихватизировать участок в форме 4-х угольника....... Задача отхватить самый большой по площади участок.
Берег моря пердставляет из себя мыс в форме прямого угла, врезающегося в море.

[Nadir Zaitov]

Но тут планки 2.
Решение (кроме соображения симметрии можно решать в лоб) несколько другое.

[Shuhrat Ismailov]

Но тут планки 2.
Решение (кроме соображения симметрии можно решать в лоб) несколько другое.
Понятно.... Спасибо за задачу

Согласно идее, данной там должно так получиться
https://img.uforum.uz/images/eaqcwwv1824003.jpg

[Nadir Zaitov]

Согласно идее, данной там должно так получиться1. Решение через симметрию уже было.
Но данную задачку можно еще и решить в лоб.

2.Нужно еще решить... определить площадь или указать фигуру (ее геометрию).

[Shuhrat Ismailov]

2.Нужно еще решить... определить площадь или указать фигуру (ее геометрию).
Рассмотрим четырехугольник, состоящий из прямоугольного равнобедренного треугольника с катетом http://latex.codecogs.com/gif.download?a стороной и равнобедренного треугольника с единичной стороной и углом при вершине, равным http://latex.codecogs.com/gif.download?x
https://img.uforum.uz/images/uxnrjwf3871651.jpg

Наша цель : найти значение http://latex.codecogs.com/gif.download?x, доставляющее максимум площади http://latex.codecogs.com/gif.latex?S нашего четырехугольника.
Находя общую сторону этих двух треугольников и приравнивая, легко имеем:
http://latex.codecogs.com/gif.latex?2a^{2}=2-2cosx\Rightarrow&space;a^{2}=1-cosx\Rightarrow&space;S=\frac{1}{2}a^{2}+\frac{1}{2}sinx =\frac{1}{2}(1-cosx+sinx)=\frac{1}{2}(1+\sqrt{2}sin(x-45^{0}))
Последнее выражение достигает максимума, равного http://latex.codecogs.com/gif.latex?\frac{1}{2}(1+\sqrt{2}) при http://latex.codecogs.com/gif.latex?x=135^{0}, а это и есть угол правильного восьмиугольника, показанного на рисунке в моем предыдущем посте.

[Nadir Zaitov]

при http://latex.codecogs.com/gif.latex?x=135^{0}
Точно....

А еще просто (если уже мы пришли к симметрии), то можно было предположить, что у нас всего одна планка и угол 45° :). Тогда сразу видно, что решением является равнобедренный треугольник с основание 1 метр, и углом при основании (180°-45°)/2 = 65° ... а если не делить на 2 - то получим искомые 135°. :) Почти устный счет :)

[Evgeniy Sklyarevskiy]

А еще просто (если уже мы пришли к симметрии),Так каанеееечно... легко. А давайте предположим, что у ширмы одна стенка вдвое короче чем другая? :-0)))

[Nadir Zaitov]

А давайте предположим, что у ширмы одна стенка вдвое короче чем другая?Давайте :)

[Nadir Zaitov]

Так каанеееечно... легко. А давайте предположим, что у ширмы одна стенка вдвое короче чем другая?Готов предложить гипотезу, что для любого набора отрезков с заранее фиксированной длинной и для любого угла (больше 0 градусов строго :) и наверное меньше 360 градусов, хотя последнее не принципиально, я думаю) справедливо, что ширма (составленная из этих отрезков) с наибольшей площадью будет отрежет замкнутую область от угла тогда и только тогда, когда все углы ширмы расположены на одной окружности с центром в вершине угла... при этом (как следствие) порядок звеньев в ширме не имеет значения :)!

Доказывается видимо также, как и в случае равнобедренного треугольника, если предположить, что у нас всего одно звено :). А еще можно и по индукции попробовать доказать :)