Обогнуть остров

[Shuhrat Ismailov]

Кораблю предписано выйти из порта А и придти в порт В за минимальное время, обогнув при этом круглый остров с центром, принадлежащем отрезку АВ. По какому маршруту это можно сделать?

[JH]

Кораблю предписано выйти из порта А и придти в порт В за минимальное время, обогнув при этом круглый остров с центром, принадлежащем отрезку АВ. По какому маршруту это можно сделать?
По дуге окружности, касающейся острова снаружи и проходящей через порты, кмк, будет кратчайшим путем.

[Shuhrat Ismailov]

Кораблю предписано выйти из порта А и придти в порт В за минимальное время, обогнув при этом круглый остров с центром, принадлежащем отрезку АВ. По какому маршруту это можно сделать?
По дуге окружности, касающейся острова снаружи и проходящей через порты, кмк, будет кратчайшим путем.
Не-а.

[JH]

Не-а.
Тогда проводим касательные из точек А и В к окружности (в одну и ту же сторону от отрезка), прокладываем маршрут до точек касания. Между этими точками - по дуге.

[Akmal Bafoev]

Не-а.
Тогда проводим касательные из точек А и В к окружности (в одну и ту же сторону от отрезка), прокладываем маршрут до точек касания. Между этими точками - по дуге.

в случае если порт(ы) не на самом острове.
если на острове - то по полуокружности, если нет - то как сказано выше.

[JH]

Условие про нахождение центра острова на отрезке избыточно?

[Shuhrat Ismailov]

Условие про нахождение центра острова на отрезке избыточно?
Я знаю строгое доказательство именно для этого случая.
Если это не так, то
1)Если окружность не имеет общей точки с отрезком АВ или касается его, то обходить нечего.
2)Если окружность имеет общую часть с отрезком АВ, то из двух маршрутов нужно будет выбрать более короткий, а как это строго описать - задача...

[JH]

Если окружность имеет общую часть с отрезком АВОкружность не может иметь общую часть с отрезком (если только одну точку). Знаю, вы хотели сказать "круг", это я мстю за "вписана" :)

[Shuhrat Ismailov]

Окружность не может иметь общую часть с отрезком (если только одну точку).
Спасибо.
Но! Окружность может иметь с отрезком общую часть, состоящую из двух точек!

[b_a_lamut]

выйти из порта А и придти в порт В за минимальное время

Поскольку это корабль, то скорее всего он имеет паруса. Найти необходимо не самый короткий маршрут, а минимальное время в пути. В связи с этим, стоит ли для решения задачи пригласить и мореходов, чтоб они решили, левым галсом плыть или правым, а может и лавировать придётся, ловя ветер? :shok:

[b_a_lamut]

2)Если окружность имеет общую часть с отрезком АВ, то из двух маршрутов нужно будет выбрать более короткий...

Это как, если центр острова находится на пути следования?


обогнув при этом круглый остров с центром, принадлежащем отрезку АВ

[b_a_lamut]

Не знаю, правильно ли проложил маршрут?

https://img.uforum.uz/images/gnwzvbl3590287.jpg

[Shuhrat Ismailov]

Тогда проводим касательные из точек А и В к окружности (в одну и ту же сторону от отрезка), прокладываем маршрут до точек касания. Между этими точками - по дуге.
Верно, существует удивительное доказательство этого факта

[JH]

Верно, существует удивительное доказательство этого факта Приведите, пожалуйста. Люблю красивые решения. (чем-то напоминает задачу про нахождение дороги из леса, которую мы здесь коллективно решали.

[Shuhrat Ismailov]

Приведите, пожалуйста. Люблю красивые решения. (чем-то напоминает задачу про нахождение дороги из леса, которую мы здесь коллективно решали.
Действительно, ответ угадывается достаточно просто: надо из точек А и В провести касательные к окружности AM и ВК так, чтобы точки М и К лежали по одну сторону прямой АВ. Кратчайший маршрут из А в В будет состоять из отрезка AM, дуги МК и от¬резка КВ. Другой маршрут такой же длины получится, если отра¬зить линию АМКВ симметрично относительно прямой АВ. Ясно, что достаточно рассмотреть только полуплоскость по одну сто¬рону от прямой А В.
Теперь надо доказать, что длина любого иного маршрута в рас¬сматриваемой полуплоскости будет больше. Перебирать все воз¬можные варианты и доказывать это для каждого конкретного пу¬ти— дело безнадежное (маршрутов бесконечно много). Надо исходить из какого-то общего принципа и сразу отбрасывать не¬пригодные варианты.
Сформулируем этот принцип так: если путь можно сделать короче, это не самый короткий путь.
Рассмотрим варианты маршрутов с этой точки зрения.
https://img.uforum.uz/images/bnvcrqz973333.jpg

Через М и К (рис.1) из центра круга О проведем лучи ОМ1, и ОК1. Лучи ММ1, КК1, прямая АВ и полуокружность делят нашу полуплос¬кость на три области, доступные для мореплавания, обозначен¬ные на рис. 1 буквами а. b, с. Для того чтобы попасть из А в В, необходимо пересечь лучи ММ1 и КК1 хотя бы в одной точке ка¬ждый. Предположим, что некоторый маршрут (кандидат на зва¬ние "самый короткий") пересекает луч ММ1 в точке С, отличной от М. Тогда этот маршрут обязательно пересечет прямую AM в некоторой точке Р, поскольку точки С и В лежат по разные сто¬роны от прямой AM. Нo тогда этот маршрут не самый короткий. т. к. отрезок АР короче пути АСР. Следовательно, кратчайший маршрут проходит через точку М. Аналогично доказываем, что кратчайший маршрут проходит через точку К. Итак, кратчайший маршрут проходит через М и К, следовательно, он содержит от¬резки AM и КВ.
Осталось доказать, что в области b самый короткий путь— это дуга МК. Предположим, что в области b кратчайший маршрут проходит через точку Е, не лежащую на дуге МК. Проведем отрезок ОЕ (рис. 2) и в той точке, где он пересекает окружность, проведем касательную S1S2. Тогда маршрут МЕК обязательно пересечет прямую S1S2 в двух точках D1 и D2, поскольку точки М, К и точка Е лежат по разные стороны от прямой S1S2. Нo тогда этот маршрут не самый короткий, т. к. отрезок D1D2 короче пути D1ED2. Доказательство завершено.

[JH]

Доказательство завершено.
Теперь осталось доказать, что именно при таком выборе областей а, b и c маршрут является кратчайшим.

[Shuhrat Ismailov]

Теперь осталось доказать, что именно при таком выборе областей а, b и c маршрут является кратчайшим.
Они однозначно определены точками касания и дугой окружности. Или есть еще кандидаты?

[JH]

Они однозначно определены точками касания и дугой окружности. Или есть еще кандидаты? Нет. Но ведь мы этот момент не затронули - т.е. доказательство того, что при другом выборе областей маршрут будет длиннее

[Shuhrat Ismailov]

т.е. доказательство того, что при другом выборе областей маршрут будет длиннее
Все маршруты будут длиннее предложенного вами независимо от областей. А области привязаны к нему и играют вспомогательную роль для доказательства этого факта

[b_a_lamut]

Все маршруты будут длиннее предложенного вами независимо от областей.

Ужас :shok: Вот, нашёл картинку в Интернете. Опять нас, бывалых мореходов, не туда завели :)

http://lib.ru/LITRA/PUSHKIN/saltan/saltan05.jpg

[Nadir Zaitov]

Опять нас, бывалых мореходов, не туда завелиВот тут Вы точно украсили Разминку для Мозгов!

ПОЧЕМУ СОЛНЕЧНЫЙ ЛУЧ ТАК СТРАШНО РАЗЛАГАЕТСЯ при ЗАКАТЕ/ВОСХОДЕ?

[b_a_lamut]

Вот тут Вы точно украсили Разминку для Мозгов!

Эх, я туго соображаю. Если нет рисунка или чертежа, возникают вопросы. Вот в этой задаче необходимо было найти минимальное время, а на всём протяжении решения искали кратчайшее расстояние. А это разные понятия. Или ошибаюсь?

[Nadir Zaitov]

Вот в этой задаче необходимо было найти минимальное время, а на всём протяжении решения искали кратчайшее расстояние. А это разные понятия. АБСОЛЮТНО ТОЧНОЕ ЗАМЕЧАНИЕ!

Из моего дома до работы можно проехать за 20 минут по маршруту в 7 км и 15 минут по маршруту в 9 км.

[Evgeniy Sklyarevskiy]

Вот тут Вы точно украсили Разминку для Мозгов! Странные пики на башнях: не кресты и не полумесяцы... куда мы попали?


Из моего дома до работы можно проехать за 20 минут по маршруту в 7 км и 15 минут по маршруту в 9 км. Класс!!!! И чем дальше, тем быстрее! Хорошо бы уравнение составить и решить, при каком расстоянии до работы скорость равна скорости света?

[b_a_lamut]

Странные пики на башнях: не кресты и не полумесяцы... куда мы попали?

Остров Буян

[Evgeniy Sklyarevskiy]

Остров Буян Армения?

[b_a_lamut]

Армения?

Ну вы даёте :shok: Армения - это же материк. Там не должно быть островов.

[Shuhrat Ismailov]

Вот в этой задаче необходимо было найти минимальное время, а на всём протяжении решения искали кратчайшее расстояние. А это разные понятия. Или ошибаюсь?
Когда среда однородная во всех смыслах, то скорее задачи эквивалентные

[b_a_lamut]

огда среда однородная во всех смыслах, то скорее задачи эквивалентные

Nadir хоть и ездит в однородной среде, однако.... Эх, сомневаемся мы.
Наверное, нужно было бы учесть рифы, подводные течения, ветер и прочие препоны.

[Nadir Zaitov]

Хорошо бы уравнение составить и решить, при каком расстоянии до работы скорость равна скорости света?Точно знаю, когда расстояние равно нулю, моя скорость может быть и выше скорости света!!!
Когда среда однородная во всех смыслах, то скорее задачи эквивалентные Ветер по морю гуляет и кораблик подгоняет....С вероятность 0, что направление ветра совпадает с направлением корабля весь путь, так что думать тут пришлось бы!!!

[Nadir Zaitov]

Странные пики на башнях: не кресты и не полумесяцы... куда мы попали?Там просто часовни неправильно сориентированы. Оказывается это традиция ориентировать их на Восток без каких либо требований и пояснений.