Игуаны, павианы и чевианы

[Barbedo]

Продолжение чевианы AQ равностороннего треугольника ABC пересекает описанную окружность в точке P. Доказать, что 1/PQ=1/PB+1/PC.

[николай москвитин]

Доказать, что 1/PQ=1/PB+1/PC.
Наверное, можно использовать тот факт, что AP=PB+PC.
Продолжение чевианы AQ
А Q может лежать на продолжении стороны треугольника?

[Shuhrat Ismailov]

Наверное, можно использовать тот факт, что AP=PB+PC.
Покажу , как его использовать.
По теореме Птоломея
http://latex.codecogs.com/gif.latex?AB\cdot&space;CP+AC\cdot&space;BP=AP\cdot&space;BC
Сокращая на http://latex.codecogs.com/gif.latex?\small&space;AB=AC=BC, получим
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\small&space;AP=PB+PC
Осталось доказать последнее.

[Evgeniy Sklyarevskiy]

Продолжение чевианы

Я от чевианы впал в ступор... а у нее еще и продолжение имеется...

[Shuhrat Ismailov]

Я от чевианы впал в ступор... а у нее еще и продолжение имеется
Действительно, необычная формулировка задачи, тем более для решения ее не нужно теорему Чевы наверное.
В школе чевианы не проходят, зато отрезок, соединяющий вершину и любую точку основания треугольника можно представить - это одно и тоже.
Тогда куда игуанов и павианов девать? Рифма пропадет

[b_a_lamut]

Я от чевианы впал в ступор... а у нее еще и продолжение имеется...

Если павиана, игуану и чевиану зацепить за хвосты мышкой и потянуть в другую сторону, то весь этот зоопарк продолжится.:shok:

[b_a_lamut]

Доказать, что 1/PQ=1/PB+1/PC.

А я верю, только павиану жалко

https://img.uforum.uz/images/eohglyi979087.jpg

[николай москвитин]

Наверное, можно использовать тот факт, что AP=PB+PC.
До меня дошло: PQ-это биссектриса угла BPC!!! Используйте этот факт, а также теорему о пропорциональности отрезков, образованных пересекающимися хордами.

[Shuhrat Ismailov]

До меня дошло: PQ-это биссектриса угла BPC!!! Используйте этот факт
https://img.uforum.uz/images/pwzxjbe2586409.jpg

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\angle&space;PAC=\angle&space;PBC&space;,&space;\:&space;\angle&space;APC=\a ngle&space;ABC=60^{0},\:&space;\angle&space;BPA=\angle&space;BCA=60^{0}
Отсюда имеем подобие треугольников и вытекающие попутные факты:
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\Delta&space;APC\sim\Delta&space;BPQ&space;\Rightarrow&space;\fr ac{PA}{PB}=\frac{PC}{PD}&space;\Rightarrow&space;PA\cdot&space;PD=PB \cdot&space;PC&space;\:&space;(1)
С другой стороны по теореме Птоломея
http://latex.codecogs.com/gif.latex?AP\cdot&space;BC=AB\cdot&space;CP+AC\cdot&space;BP
Сокращаем на равные стороны (так как теругольник правильный) получим
http://latex.codecogs.com/gif.latex?AP=PB+PC&space;(2)

Из (1),(2) имеем http://latex.codecogs.com/gif.latex?PB\cdot&space;PC=PQ\cdot&space;(PB+PC)
Сокращая на http://latex.codecogs.com/gif.latex?PB\cdot&space;PQ\cdot&space;PC получим искомое равненство