Между капельками

[Evgeniy Sklyarevskiy]

Найти закон для скорости увеличения расстояния между капельками с высотой

http://mytashkent.uz/wp-content/uploads/2011/03/DSC4012-333x500.jpg

[николай москвитин]

Найти закон для скорости увеличения расстояния между капельками с высотой
Я из курса помню: h=gt^2/2. Предлагаю взять от h производную. Если я не ошибаюсь, то это и будет закон: v=gt. Так как всё же требуется выразить через v, получаем: t=v/g. h=g*(v/g)^2/2=V^2/2g. V=scrt(2gh) Супер! Только проверьте- вдруг в чём-нибудь ошибся.

[Evgeniy Sklyarevskiy]

Супер! Только проверьте- вдруг в чём-нибудь ошибсяЧитаем внимательно вопрос, ищем закон не скорости падения капель, а
скорости увеличения расстояния между капельками с высотой

[николай москвитин]

ищем закон не скорости падения капель
Да, действительно. Может, тогда посмотреть, как изменилась высота за 1 с, за 2с, за 3с, и т.д.? А затем высчитать требуемую скорость... Но ведь закон скорости падения капель безусловно поможет, не так ли?

[Evgeniy Sklyarevskiy]

Но ведь закон скорости падения капель безусловно поможет, не так ли? Трудно не согласиться :-0)))

[JackDaniels]

скорости увеличения расстояния между капельками с высотой
Для меня не очевидно вообще почему расстояние между каплями меняется.

Объем и масса капли постоянная, притяжение тоже, плотность воздуха, начальная скорость — ничего же не меняется за время полета и одинаково для всех капель.

Чтож они растягиваются по маршруту? :)

[Evgeniy Sklyarevskiy]

ничего же не меняется за время полета и одинаково для всех капель.С ускорением же падают.

[Shuhrat Ismailov]

ничего же не меняется за время полета и одинаково для всех капель.С ускорением же падают.
ЕС! Можно ли считать, что время между последовательными каплями не меняется, то есть постоянно?

[JackDaniels]

ничего же не меняется за время полета и одинаково для всех капель.С ускорением же падают.

Но ведь с одинаковым :)

[Shuhrat Ismailov]

Для меня не очевидно вообще почему расстояние между каплями меняется.
Оно меняется.
Рассмотрим две произвольные последовательные капли.
Пусть http://latex.codecogs.com/gif.latex?T - время между отрывом первой капли и второй капли (считаем его постоянным)
Рассмотрим произвольный момент времени http://latex.codecogs.com/gif.latex?t после отрыва второй капли.
Тогда первая и вторая капли будут на следующих расстояниях от желоба (начала кординат)
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\left\{\begin{matrix}x_{1}(t)=\frac{g(t+ T)^{2}}{2}&space;\\&space;x_{2}(t)=\frac{gt^{2}}{2}&space;\end{matri x}\right.
соответсвенно.
Расстояние между каплями в момент времени http://latex.codecogs.com/gif.latex?t равно
http://latex.codecogs.com/gif.latex?S(t)=x_{1}(t)-x_{2}(t)=\frac{gT(2t+T)}{2}
Видно, что оно увеличивается линейно от времени и зависит от высоты.

Для того, чтобы найти скорость увеличения расстояния между капельками возьмем производную:
http://latex.codecogs.com/gif.latex?v(t)=\frac{d}{dt}S(t)=gT
Вот она точно уже не зависит от времени и тем более от высоты. Неинтересно....
ЕС. Может быть Вы имели в виду найти закон для увеличения расстояния между капельками с высотой?

[Shuhrat Ismailov]

Чтобы найти закон для увеличения расстояния между капельками с высотой пойдем дальше:
http://latex.codecogs.com/gif.latex?h(t)=H-x_{1}(t)=H-\frac{g(t+T)^2}{2}
где http://latex.codecogs.com/gif.latex?H - высота от желоба до земли, http://latex.codecogs.com/gif.latex? h(t) - высота от второй капли до земли.
Найдем зависимость http://latex.codecogs.com/gif.latex?S от http://latex.codecogs.com/gif.latex? h (высоты), избывившись от параметра времени.
Из соотношения
http://latex.codecogs.com/gif.latex?h(t)=H-\frac{g(t+T)^2}{2}
находим время
http://latex.codecogs.com/gif.latex?t=\sqrt{2(H-h)}-T
Тогда расстояние между капельками будет иметь вид
http://latex.codecogs.com/gif.latex?S(t)=\frac{gT(2t+T)}{2}=\frac{gT(2(\sqrt {2(H-h)}-T)+T)}{2}=\frac{gT(\sqrt{8(H-h)}-T)}{2}

[Shuhrat Ismailov]

Опечатался, извините.
http://latex.codecogs.com/gif.latex? h(t) - высота от второй первой капли до земли.
Из соотношения
http://latex.codecogs.com/gif.latex?h(t)=H-\frac{g(t+T)^2}{2}
находим время
http://latex.codecogs.com/gif.latex?t=\sqrt{\frac{2(H-h)}{g}}-T
Тогда расстояние между капельками будет иметь вид
http://latex.codecogs.com/gif.latex?S(t)=\frac{gT(2t+T)}{2}=\frac{gT(2(\sqrt {\frac{2(H-h)}{g}}-T)+T)}{2}=\frac{T(\sqrt{8g(H-h)}-gT)}{2}

[николай москвитин]

Вот она точно уже не зависит от времени и тем более от высоты.
Почему же? Время и скорость определяют расстояние, скорость и время- ускорение. Достаточно провести Ваше решение с полученной мной формулой
V=scrt(2gh), чтобы получить искомое. Или здесь вкралась какая-то логическая ошибка?

[Shuhrat Ismailov]

здесь вкралась какая-то логическая ошибка?По вашей формуле вычисляется скорость падения одной капли относительно неподвижной точки отсчета.
А ЕС просил выписать относительную скорость между двумя каплями.

[Evgeniy Sklyarevskiy]

ЕС. Может быть Вы имели в виду найти закон для увеличения расстояния между капельками с высотой?Да, именно так и написано в стартовом послании, найти скорость увеличения расстояния между капельками..


А ЕС просил выписать относительную скорость между двумя каплями.скорость увеличения расстояния между двумя каплями.

В Вашей формуле присутствует и время и высота, хотелось бы избавиться от времени, ибо оно связано с высотой, точнее, высота зависит от времени.

Интервалы стартовые между капельками конечно же одинаковые

[Nadir Zaitov]

Интервалы стартовые между капельками конечно же одинаковые А угол наклона к горизонту трубы? Шухрат считал равной 90°. На практике же эт о не так и без теоремы Пифагора тут не обойтись.

[Evgeniy Sklyarevskiy]

А угол наклона к горизонту трубы? Шухрат считал равной 90°. На практике же эт о не так и без теоремы Пифагора тут не обойтись. Важное уточнение. Предлагаю рассматривать только вертикальную составляющую.

[Nadir Zaitov]

А угол наклона к горизонту трубы? Шухрат считал равной 90°. На практике же эт о не так и без теоремы Пифагора тут не обойтись. Важное уточнение. Предлагаю рассматривать только вертикальную составляющую.
С нулевой начальной скоростью - это тоже важное уточнение. У Вас на картинке скорость начальная не нулевая.
Опечатался, извините.Предлагаю более простой подход (и формулка получается полегче).

h(t)=расстояние, пролетевшая некоторая базовая капелька, отделившаяся в некоторый момент времено t=0.

h(t+T)=расстояние, пролетевшая капелька, отделившаяся как раз перед базовой, на T секунд раньше.

тогда

http://latex.codecogs.com/gif.latex?h\left&space;(&space;t&space;\right&space;)=\frac{gt^{2}}{2}

http://latex.codecogs.com/gif.latex?h\left&space;(&space;t+T&space;\right&space;)=\frac{g(t+T)^{2}}{ 2}

значит искомая разница равна:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\Delta&space;h\left&space;(&space;t&space;\right&space;)=\frac{g(t+T)^ {2}}{2}-\frac{gt^{2}}{2}

Раскрываем скобки:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\Delta&space;h\left&space;(&space;t&space;\right&space;)=\frac{gT^{2}} {2}+gtT

Следовательно

Теперь учтем, что:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?t=\sqrt{\frac&space;{2h}{g}}

то получим формулку попроще (на мой взгляд) зависимость расстояния между каплями от пройденного следом идущей каплей пути:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\Delta&space;h&space;\left&space;(&space;t&space;\right&space;)=&space;\frac&space;{gT^{ 2}}{2}+T\sqrt{2gh}

[Evgeniy Sklyarevskiy]

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\Delta&space;h&space;\left&space;(&space;t&space;\right&space;)=&space;\frac&space;{gT^{ 2}}{2}-T\sqrt{2gh}

А не догонит ли вторая капля первую? :-0)))

Кстати, из формулы следует, что при Т = SQR ( 8 * h / g ) расстояние между каплями будет постоянным... а потом и уменьшаться будет, так же не должно быть?

[Nadir Zaitov]

А не догонит ли вторая капля первую? :-0)))Там минус на плюс нужно заменить. Очепятка очевидная. Сейчас исправлю... Исправил. Теперь ОК (http://uforum.uz/showthread.php?p=525866&postcount=18)?

[Evgeniy Sklyarevskiy]

Класс!!! Спасибо! Интуитивно необычно, что скорость роста расстояния пропорционально квадрату расстояния начального и лишь корню от высоты!