3 красивые задачи по геометрии

[Evgeniy Sklyarevskiy]

1. Докажите, что площадь правильного восьмиугольника равна произведению длин наибольшей и наименьшей его диагоналей.
2. Из середины каждой стороны остроугольного треугольника опущены перпендикуляры на две другие стороны. Докажите, что площадь ограниченного ими шестиугольника равна половине площади исходного треугольника.
3. Докажите, что площадь двенадцатиугольника, вписанного в окружность радиуса 1, равна 3.

[iDead]

Третья - легкая (если двенадцатиугольник- правильный):

S=12*0.5*a*r
R=a/(2*sin(180"/12)) => a=2*R*sin15"
r=a/(2*tg(180"/12)) = 2*R*sin15"/(2*tg15") => r=R*cos15"
S= 12*0.5*R*R*2*sin15"cos15"=12*0.5*R*R*sin30"=3;
(" - означает градус)

[Evgeniy Sklyarevskiy]

Сообщение от iDead

Третья - легкая (если двенадцатиугольник- правильный):

S=12*0.5*a*r
R=a/(2*sin(180"/12)) => a=2*R*sin15"
r=a/(2*tg(180"/12)) = 2*R*sin15"/(2*tg15") => r=R*cos15"
S= 12*0.5*R*R*2*sin15"cos15"=12*0.5*R*R*sin30"=3;
(" - означает градус)

Отлично!

[Nadir Zaitov]

Сообщение от Evgeniy Sklyarevskiy

1. Докажите, что площадь правильного восьмиугольника равна произведению длин наибольшей и наименьшей его диагоналей.

1. Решение в лоб:
Dmax=2R (больший диаметр)
Dmin=R*sqrt(2) (меньший диаметр)
S=8*Str=8*(1/2 R * sqrt(2)/2R)=2sqrt(2)R^2=Dmin*Dmax

2. Графическое решение: можно просто достроить большой диаметр Dmax до прямоугольника с шириной Dmin так, что Dmax окажется средней линией в прямоугольнике. Остается заметить, что 4 треуголтьника, выступающие за 8-уголиник (зеленые) равны треугольникам, выступающим за прямоугольник (желтые):

(картинка получилась не очень аккуратная)

[Evgeniy Sklyarevskiy]

Сообщение от Nadir Zaitov

1. Решение в лоб:
Dmax=2R (больший диаметр)
Dmin=R*sqrt(2) (меньший диаметр)
S=8*Str=8*(1/2 R * sqrt(2)/2R)=2sqrt(2)R^2=Dmin*Dmax

2. Графическое решение: можно просто достроить большой диаметр Dmax до прямоугольника с шириной Dmin так, что Dmax окажется средней линией в прямоугольнике. Остается заметить, что 4 треуголтьника, выступающие за 8-уголиник (зеленые) равны треугольникам, выступающим за прямоугольник (желтые):
(картинка получилась не очень аккуратная)

Спасибо, отлично!

[Barbedo]

Сообщение от Evgeniy Sklyarevskiy

2. Из середины каждой стороны остроугольного треугольника опущены перпендикуляры на две другие стороны. Докажите, что площадь ограниченного ими шестиугольника равна половине площади исходного треугольника.

Параллелограмм APTM отсекает половину площади треугольника ABC. Определяемый условием шестиугольник PQTEMG отсекает от данного параллелограмма треугольник AGM, но дополняется равным ему треугольником PQT, кроме того, отсекает от параллелограмма треугольник AGP, но дополняется равным ему треугольником TME. Следовательно площадь шестиугольника равна площади параллелограмма и равна половине площади исходного треугольника ABC.

[Evgeniy Sklyarevskiy]

Сообщение от Barbedo

Параллелограмм APTM отсекает половину площади треугольника ABC. Определяемый условием шестиугольник PQTEMG отсекает от данного параллелограмма треугольник AGM, но дополняется равным ему треугольником PQT, кроме того, отсекает от параллелограмма треугольник AGP, но дополняется равным ему треугольником TME. Следовательно площадь шестиугольника равна площади параллелограмма и равна половине площади исходного треугольника ABC.

Ну ваще... Спасибо!

Все три задачи решены. Преподаватели математики могут разбирать на сладкое для своих оболтусов :-)