Построить точку пересечения прямой и окружности

[николай москвитин]

Условие: вокруг прямоугольника ABCD описана окружность, проведены диагонали AC и BD с точкой пересечения O, на дуге CD выбрана произвольная точка E, и в ней к окружности проведена касательная, пересекающая продолжение стороны BC в точке F.


Построить одной линейкой точку пересечения окружности, описанной около треугольника CFE, и диагонали AC.

[JH]

А когда придумали эту задачку, зачем не сказали? Нехорошо скрывать детали.

[Barbedo]

Строим срединный перпендикуляр к CF, затем через точку O перпендикуляр к СE. На их пересечении отмечаем центр G описанной окружности треугольника СEF. Проводим АЕ. Проводиm CG до пересечения с продолжением AE в точке H. СН – диаметр описанной окружности треугольника СEF, поскольку СЕ перпендикулярно EH. Из H опускаем перпендикуляр на AC. Основание перпендикуляра P – искомая точка.

[Timofeus]

Сообщение от Barbedo

Строим срединный перпендикуляр

Как? Циркуля-то вроде нет.

[Shuhrat Ismailov]

Сообщение от Timofeus

Как? Циркуля-то вроде нет.

Действительно, должен быть еще задан центр окружности

[Barbedo]

Сообщение от Timofeus

Как? Циркуля-то вроде нет.

Пояснение 1.

Известна теорема: прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей трапеции и через точку пересечения ее непараллельных сторон, делит пополам каждую из параллельных сторон трапеции.
Можно было бы выбрать сразу трапецию ACFD, но в нашем примере AD почти || FD, поэтому возьмем на AD произвольную точку J и построим трапецию ACFJ. Найдем точку пересечения продолжений ее боковых сторон L и точку пересечения диагоналей Q. Проведем LQ до пересечения с CF в точке M, тогда M – середина CF.

[Barbedo]

Пояснение 2.

Для построения перпендикуляра к СF в точке M проведем через точку M прямую, параллельную CD. Для этого найдем сначала середину отрезка AB: проведем AF, отметим точку Y пересечения AF и CD. Проведем диагонали трапеции ABCY и отметим точку их пересечения X. Отметим точку Z пересечения FX и AB. Согласно упомянутой в Пояснении 1 теореме Z будет серединой AB. Теперь рассматриваем трапецию, одним основанием которой служит AB, а другое проходит через M, и нам нужно найти второй конец этого основания. Для этого проводим диагональ искомой трапеции AM и на ее пересечении с FZ отмечаем точку S. Вторую диагональ трапеции проводим через B и S и на пересечении BS и AF находим искомую вершину трапеции T. Итак, MT перпендикулярен CF.

[Barbedo]

Пояснение 3.

Пусть G - искомый центр описанной окружности треугольника ECF. Для построения срединного перпендикуляра к CE заметим предварительно, что CE является хордой данной окружности с центром O, следовательно, треугольник COE равнобедренный, и его высота ON будет искомым срединным перпендикуляром. Для поиска точки N Отметим второй конец U диаметра EO и соединим его с A. AU || CE. Выберем на AU произвольную точку K и, построив точку W пересечения диагоналей трапеции AKCE и точку пересечения ее боковых сторон V, на пересечении VW и CE найдем точку N. Проводим ON.

[Timofeus]

Мне кажется, или нужно ждать еще пояснения №4?

[Barbedo]

Сообщение от Timofeus

Мне кажется, или нужно ждать еще пояснения №4?

А есть вопрос №4?