Среднее марсианское

[Evgeniy Sklyarevskiy]

Марс летает вокруг Солнца по орбите радиуса r, а Плутон по орбите радиуса R. Найти среднее расстояние от Марса до Плутона.

[JH]

Сообщение от Evgeniy Sklyarevskiy

Марс летает вокруг Солнца по орбите радиуса r, а Плутон по орбите радиуса R. Найти среднее расстояние от Марса до Плутона.

Предположим, они летают в одной плоскости с одинаковой угловой скоростью

[Evgeniy Sklyarevskiy]

Сообщение от JH

Предположим, они летают в одной плоскости с одинаковой угловой скоростью

В одной плоскости, но угловые скорости конечно же разные, Марс вращается вокруг Солнца в несколько раз быстрее (отвлечемся от закона Кеплера, просто быстрее и все. Или это отвлечение убивает задачу?).

Наверное в пределе вращением Плутона вообще можно пренебречь? Но это как бы обедняет задачу.

Я сам не знаю ответ и решение, просто рассуждаю, как бы именно задача выглядела бы покрасивее. Поэтому согласен рассмотреть любые варианты для условия.

[JH]

Сообщение от Evgeniy Sklyarevskiy

В одной плоскости, но угловые скорости конечно же разные, Марс вращается вокруг Солнца в несколько раз быстрее (отвлечемся от закона Кеплера, просто быстрее и все. Или это отвлечение убивает задачу?).

Тогда для красоты и чистоты пусть будут не в одной плоскости

[Nadir Zaitov]

Сообщение от Evgeniy Sklyarevskiy

Марс летает вокруг Солнца по орбите радиуса r, а Плутон по орбите радиуса R. Найти среднее расстояние от Марса до Плутона.

Интересный результат, если принять, что орбиты планет строго идут по окружности с центром на Солце.

Среднее расстояние от Марса до Плутона (учитывая разницу в угловой скорости и скорее всего почти нулевое влияние масс) можно считать например сидя, например, на Плутоне. Тогда имеем - Плутон равноотстоящий от Солнца и Марс вращающийся вокруг Солнца. Ясно, что среднее расстояние будет R - т.е. расстояние до дальней планеты и не зависит от расстояния до Солнца второй (ближней) планеты.

Неожиданный ответ. Спасибо, ЕС.

[Vitaliy Fioktistov]

Сообщение от Nadir Zaitov

Интересный результат, если принять, что орбиты планет строго идут по окружности с центром на Солце.

Среднее расстояние от Марса до Плутона (учитывая разницу в угловой скорости и скорее всего почти нулевое влияние масс) можно считать например сидя, например, на Плутоне. Тогда имеем - Плутон равноотстоящий от Солнца и Марс вращающийся вокруг Солнца. Ясно, что среднее расстояние будет R - т.е. расстояние до дальней планеты и не зависит от расстояния до Солнца второй (ближней) планеты.

Неожиданный ответ. Спасибо, ЕС.

Почему это? А если Марс при движении по орбите будет всегда МЕЖДУ Плутоном и Солнцем?

Еще два вопроса:
Какое в таком случае среднее расстояние от Плутона до Фобоса, который вращается вокруг Марса, скажем тоже по круговой орбите, лежащей в той же плоскости, что и орбиты Марса и Плутона?

А если орбиты лежат в разных плоскостях, причем одна относительно другой перпендикулярна?

[Nadir Zaitov]

Сообщение от Vitaliy Fioktistov

Почему это? А если Марс при движении по орбите будет всегда МЕЖДУ Плутоном и Солнцем?

Тогда Плутон оторвется от орбиты солнца в свободный полет - вторая космическая скорость. Угловые скорости у планет заведомо разные - я это в своем ответе сразу отразил.

Сообщение от Vitaliy Fioktistov

Какое в таком случае среднее расстояние от Плутона до Фобоса, который вращается вокруг Марса, скажем тоже по круговой орбите, лежащей в той же плоскости, что и орбиты Марса и Плутона?

Тоже самое R - расстояние от Плутона до центра солнца. В этом и прелесть задачи

Сообщение от Vitaliy Fioktistov

А если орбиты лежат в разных плоскостях, причем одна относительно другой перпендикулярна?

В сущности когда говорил о среднем, я наверное наврал. Средний вектор до планеты Марс от плутона будет иметь длинну R, а вот средняя длинна видимо будет другая. Что-то я напутал, а ЕС промолчал.

[Evgeniy Sklyarevskiy]

Сообщение от Nadir Zaitov

Что-то я напутал, а ЕС промолчал.

Я просто не знаю, как сформулировать замечание. Ведь "средние" бывают разные.... в чем именно заключается среднесть расстояния? Стоит подумать над этим...

[Vitaliy Fioktistov]

Сообщение от Nadir Zaitov

Тогда Плутон оторвется от орбиты солнца в свободный полет - вторая космическая скорость. Угловые скорости у планет заведомо разные - я это в своем ответе сразу отразил.

Ага, чот я погнал. Сел щас и попробовал рассчитать массу гипотетической планеты, которая имеет большую полуось орбиты в 2 раза большую, чем первая планета, но при этом такой же период обращения. Получилось что-то около 7 с лишком масс Солнца. Точнее m2=7*M+8*m1

Насколько помню, это круто противоречит самому определению планеты (m<0.013Mсолнце)

[Shuhrat Ismailov]

Сообщение от Evgeniy Sklyarevskiy

в чем именно заключается среднесть расстояния? Стоит подумать над этим

Подумаем....
1 - способ. Пусть Ai - произвольные фиксированные точки на первой орбите , Вj - произвольные фиксированные точки на второй орбитe, i=1,...,n, j=1,...,m.
Вычисляется максимум всевозможных расстояний |AiВj|. Он равен R+r.
Результат делится на n+m.
Вычисляется минимум всевозможных расстояний |AiВj|. Он равен R-r.
Берется среднее арифметическое
0,5(макс+мин)=0,5(R+r+R-r)=R
Получаем результат Надыра.

2 - способ. Пусть Ai - произвольные фиксированные точки на первой орбите , Вj - произвольные фиксированные точки на второй орбитe, i=1,...,n, j=1,...,m.
Вычисляется сумма по всем всевозможным расстояниям |AiВj|. Результат делится на n+m.
Потом предельный переход при n,m, стремящимися независимо к бесконечности.
Получим среднее расстояние.
Пахнет интегральным представлением в следующем смысле.

3 - способ. Пусть A(x,y) - произвольная точка на первой орбите , В(x,y) - произвольная точка на второй орбитe.
Вычисляется двойной интеграл от функции |A(x,y)В(x,y)|. Результат делится на площадь области значений (x,y).
Получим интегральное представление среднего расстояния.