Вычислить хорду

[николай москвитин]

Предлагаю собственную задачу, но без конкретных данных, просто нужно найти оптимальную формулу, или алгоритм для вычисления. Примеры могут быть разными, кто как решит.

Условие: в треугольнике ABC проведены высоты AA1 и BB1, около него описана окружность, прямая A1B1 пересекает её в точках D и E. Найти:DE.

[Shuhrat Ismailov]

Сообщение от николай москвитин

в треугольнике ABC ..... прямая B1C1

Для случая, когда треугольник тупоугольный, задача вырождается, так как там уже не хорда получается. Кроме того допущена описка: наверное, имелось в виду B1D1?

[b_a_lamut]

Вот мне интересно, для задания двух частных случаев, такие рисунки подойдут или где-то ошибся?

[николай москвитин]

Сообщение от b_a_lamut

такие рисунки подойдут или где-то ошибся?

Всё верно!

[Barbedo]

Обозначим:
С2 – основание высоты ортотреугольника, опущенной из его вершины С1
O1 – центр окружности Эйлера треугольника ABC
H – ортоцентр треугольника ABC
H1 – ортоцентр треугольника A1B1C1
r' = HP - радиус вписанной окружности треугольника A1B1C1
O1Q – расстояние от центра описанной окружности треугольника A1B1C1 до его стороны A1B1
OT – расстояние от центра описанной окружности треугольника ABC до хорды DE
a1, b1, c1 – стороны отротреугольника
R – радиус описанной окружности треугольника ABC
R1 – радиус описанной окружности ортотреугольника A1B1C1
A1, B1, С1 - вершины и углы при вершинах ортотреугольника A1B1C1.
Углы ортотреугольника можно вычислить:
A1=B+C-A; B1=C+A-B; C1=A+B-C
С помощью теоремы косинусов найдем стороны ортотреугольника:
a1=a*cosA, b1=b*cosB, c1=c*cosC
Поскольку ортотреугольник отсекает от треугольника ABC треугольники, подобные треугольнику ABC, площадь ортотреугольника запишем в виде:
S’=S(1-cos^2A-cos^2B-cos^2C)
Кроме того, воспользуемся известным равенством S=Rp, где S – площадь треугольника ABC, p – полупериметр его ортотреугольника A1B1C1, и найдем радиус r’ вписанной окружности ортотреугольника:
r'=S’/p=S(1-cos^2A-cos^2B-cos^2C)/(S/R)=R(1-cos^2A-cos^2B-cos^2C)
Вспомним, что расстояние от ортоцентра треугольника до его стороны равно половине расстояния от него же до противолежащей стороне вершины.
С1H1=b1*cosC1/sinB1=b*cosB*cos(A+B-C)/sin(A+C-B)=b*cosB*cos(A+C-B)/sin2B=
=b*cosB*cos(A+B-C)/2sinBcosB=b*cos(A+B-C)/2sinB
Но b/sinB=2R, тогда С1H1=R*cos(A+B-C) и O1Q=R*cos(A+B-C)/2
Поскольку центр окружности Эйлера O1 расположен посреди отрезка OH,
отрезок OT=(O1Q-HP)*2+HP=O1Q*2- r’= R*cos(A+B-C)/2 - R(1-cos^2A-cos^2B-cos^2C)

DE=2R*(1-(cos(A+B-C)/2 - R(1-cos^2A-cos^2B-cos^2C))^2)^0,5

Можно, наверное, упростить выражение для DE, но вот бы найти изящное, короткое решение задачи

[Barbedo]

Сообщение от Barbedo

Вспомним, что расстояние от ортоцентра треугольника до его стороны равно половине расстояния от него же до противолежащей стороне вершины.

Описка вышла. Следует читать:
Вспомним, что расстояние от центра описанной окружности треугольника до его стороны равно половине расстояния от ортоцентра треугольника до противолежащей стороне вершины.

(формулы учитывают верный вариант текста)

[Nadir Zaitov]

Сообщение от Barbedo

формулы учитывают верный вариант текста

Barbedo, я, если честно, просто поверил, что все правильно. Посмотрев на картинку мне дурно стало от числа окружностей и треугольников в ней.

[Barbedo]

Сообщение от Nadir Zaitov

мне дурно стало от числа окружностей и треугольников в ней.

"Я сам фигею, дорогая редакция" (с)
Давайте искать короткое решение!

[b_a_lamut]

Вот мне интересно, можно ли найти DF в в прямоугольном треугольнике DFO, если известно, что угол F - прямой, а гипотенуза DO равна радиусу описанной окружности?