|
|
Знаете ли Вы, что ... | |
...для каждой темы существует свой раздел. Изучите структуру форума. Если соответствующего раздела нет, то всегда есть раздел "Разное" :) | |
<< Предыдущий совет - Случайный совет - Следующий совет >> |
Разминка для мозгов Загадки, задачи, головоломки - тренируем мозг |
Ответить |
|
Опции темы | Опции просмотра |
01.06.2013 02:18 | #52 |
|
Смею предположить, что при разрезе куба по противоположным граням, площадь сечения будет прямоугольным. Меняя угол разреза по оси, прямоугольник будет превращаться в параллелограмм, при этом площадь сечения оставаться неизменной. Или, предположение слишком смелое?
__________________
Заходите в гости в мой блог :) |
|
Ответить |
01.06.2013 02:35 | #53 |
|
Точно погорячился Площадь сечения будет меняться в определённых пределах. Нужно ли находить углы поворота для максимума и минимума?
__________________
Заходите в гости в мой блог :) |
|
Ответить |
01.06.2013 12:34 | #54 |
Сообщений: 924
+ 685
538/329
– 2
0/0
|
Будете смеяться, но опять нашел ошибку в том же месте. Придется подробнее этот момент.
Рассмотрим сечение AC1B куба с вертикальной главной диагональю: На виде сверху радиус описанной окружности, равный горизонтальной проекции ребра куба, составляет 1*cosφ=(2/3)^0,5. Заново уточняем расчеты: В правильном треугольнике ACB угол <AF1B=180°-60°-22,5°=97,5°. Горизонтальную проекцию чевианы AF1 найдем по теореме синусов: sin60°/AF1=sin97,5°/AB AF1=AB*sin60°/sin97,5° Аналогично находим горизонтальную проекцию чевианы AE1 треугольника DAC: sin60°/AE1=sin(180°-60°-37,5°)/AD AE1=AD*sin60°/sin82,5° Обратим внимание на то, что AB=AD, а sin82,5°=sin97,5°. Отсюда следует, что AE1=AF1= =((2/3)^0,5*3^0,5/2)/(¼*(3^0,5*(2+2^0,5)^0,5+(2-2^0,5)^0,5)) Это видно также в том, что треугольники E1F1C (черный куб) и E1F1B’ (синий куб) имеют общее основание и симметричны относительно прямой ss. Кроме того, в горизонтальной проекции <E1AF1=22,5°+37,5°=60°, значит, треугольник E1AF1 равносторонний. Площадь треугольника AF1E1 равна: S1=½ AE1*AF1*sin60°=½(AB1*sin60°/sin82,5°)^2*sin60°= =½ * 2/3 * ¾ * 3^0,5/2 / (sin82,5°)^2 =1/8*3^0,5/(1/8*(4+2^0,5(1+3^0,5)))= =3^0,5/(4+2^0,5(1+3^0,5)) Истинная площадь треугольника AEF после поворота грани ABCD вокруг прямой gg на 45° до совпадения этой грани с горизонтальной плоскостью: Saef=S1/cos45°=S1*2^0,5= =6^0,5/(4+2^0,5(1+3^0,5)) Соответственно, площадь поверхности фигуры, оказавшейся в пересечении кубов А и Б: S=12*Saef=12*6^0,5/(4+2^0,5(1+3^0,5)) ≈ 3,738 Оффтоп: Задачка, конечно, зубодробильная, может еще где нахомутал
__________________
geom.uz |
|
Ответить |
01.06.2013 23:06 | #55 |
Сообщений: 924
+ 685
538/329
– 2
0/0
|
Рассуждая о зависимости площади общей части от угла поворота, сделал вывод о неверности предыдущих расчетов, но в чем именно гнездится, пока не вижу. Итак:
На виде сверху радиус описанной окружности, равный горизонтальной проекции ребра куба, составляет 1*cosφ =(2/3)^0,5. Пусть угол поворота куба β будет произвольным 0°<β<60°. В правильном треугольнике ACB угол <AF1B=180°-60°-β/2=120°-β/2. Горизонтальную проекцию чевианы AF1 найдем по теореме синусов: sin60°/AF1=sin(120°-β/2)/AB AF1=AB*sin60°/(120°-β/2) Аналогично находим горизонтальную проекцию чевианы AE1 треугольника DAC: sin60°/AE1=sin(180°-60°-(60°-β/2))/AD AE1=AD*sin60°/sin(60°+β/2) Обратим внимание на то, что AB=AD, а sin(60°+β/2)= =sin(90°-30°+β/2)=sin(90°+30°-β/2)=sin(120°-β/2) Отсюда следует, что AE1=AF1= =((2/3)^0,5*sin60°/sin(60°+β/2) Это видно также в том, что треугольники E1F1C (черный куб) и E1F1B’ (синий куб) имеют общее основание и симметричны относительно прямой ss. Кроме того, в горизонтальной проекции <E1AF1=120°-β/2-(60°-β/2)=60°, значит, треугольник E1AF1 равносторонний. Площадь треугольника AF1E1 равна: S1=½ AE1*AF1*sin60°= =½(AB1*sin60°/sin(60°+β/2))^2*sin60°= =½ * 2/3 * ¾ * 3^0,5/2 / (sin(60°+β/2))^2= =1/8*3^0,5/(sin(60°+β/2))^2 Истинная площадь треугольника AEF после поворота грани ABCD вокруг прямой gg на 45° до совпадения этой грани с горизонтальной плоскостью: Saef=S1/cos45°=S1*2^0,5= =1/8*6^0,5/(sin(60°+β/2))^2 Соответственно, площадь поверхности фигуры, оказавшейся в пересечении кубов А и Б: S=12*Saef=3/2*6^0,5/(sin(60°+β/2))^2 Поскольку (sin(60°+β/2))^2 полого возрастает на участке 0°<β/2<30°, легко определить, что минимальная площадь общей части двух кубов будет наблюдаться при β/2=30°, т.е. при относительном повороте на 60°, и составит S=12*Saef=3/2*6^0,5 ≈ 3,674, а максимальная, соответственно, при β=0°: S=12*Saef=3/2*6^0,5/(sin(60°)^2=2*6^0,5 ≈ 4,899 Упс! Подмечаем острым глазом, что при нулевом повороте площадь должна равняться 6, а вовсе не 4,899. Значит, где-то в решение вкралась и затаилась ошибка! Может кто углядел ее? Будем искать.
__________________
geom.uz Последний раз редактировалось Barbedo; 01.06.2013 в 23:11. |
|
Ответить |
03.06.2013 12:28 | #58 |
Сообщений: 924
+ 685
538/329
– 2
0/0
|
Источник ошибки заключался в привычке рисовать куб в изометрии таким образом, что ближняя к нам вершина (С) совпадает с дальней от нас (A1). На самом деле, если расположить главную диагональ куба вертикально и смотреть на нее вдоль горизонта, то вид куба на фронтальной проекции будет иным (соотношения показаны на виде слева):
На виде сверху радиус описанной окружности, равный горизонтальной проекции ребра куба, составляет 1*cosφ =(2/3)^0,5. Пусть угол поворота куба β будет произвольным 0°<β<60°. В правильном треугольнике ACB угол <AF1B=180°-60°-β/2=120°-β/2. Горизонтальную проекцию чевианы AF1 найдем по теореме синусов: sin60°/AF1=sin(120°-β/2)/AB AF1=AB*sin60°/(120°-β/2) Аналогично находим горизонтальную проекцию чевианы AE1 треугольника DAC: sin60°/AE1=sin(180°-60°-(60°-β/2))/AD AE1=AD*sin60°/sin(60°+β/2) Обратим внимание на то, что AB=AD, а sin(60°+β/2)= =sin(90°-30°+β/2)=sin(90°+30°-β/2)=sin(120°-β/2) Отсюда следует, что AE1=AF1= =((2/3)^0,5*sin60°/sin(60°+β/2) Это видно также в том, что треугольники E1F1C (черный куб) и E1F1B’ (синий куб) имеют общее основание и симметричны относительно прямой ss. Кроме того, в горизонтальной проекции <E1AF1=120°-β/2-(60°-β/2)=60°, значит, треугольник E1AF1 равносторонний. Площадь треугольника AF1E1 равна: S1=½ AE1*AF1*sin60°= =½(AB1*sin60°/sin(60°+β/2))^2*sin60°= =½ * 2/3 * ¾ * 3^0,5/2 / (sin(60°+β/2))^2= =1/8*3^0,5/(sin(60°+β/2))^2 Истинная площадь треугольника AEF после поворота грани ABCD вокруг прямой gg на (90°-φ) до совпадения этой грани с горизонтальной плоскостью: Saef=S1/cos(90°-φ)=S1*3^0,5= =(3/8)/(sin(60°+β/2))^2 Соответственно, площадь поверхности фигуры, оказавшейся в пересечении кубов А и Б: S=12*Saef=(9/2)/(sin(60°+β/2))^2 Поскольку (sin(60°+β/2))^2 полого возрастает на участке 0°<β/2<30°, легко определить, что минимальная площадь общей части двух кубов будет наблюдаться при β/2=30°, т.е. при относительном повороте на 60°, и составит S=12*Saef= 9/2 = 4,5 а максимальная, соответственно, при β=0°: S=12*Saef=(9/2)/(sin(60°)^2=6 Составим таблицу искомой площади в зависимости от угла поворота β (с шагом 5°): Проверим «вручную» для угла β=45°: S=12*Saef=(9/2)/(sin(60°+β/2))^2=(9/2)/(sin82,5°)^2= =(9/2)/(1/8*(4+2^0,5*(1+3^0,5))) ≈ 4,578
__________________
geom.uz Последний раз редактировалось Barbedo; 03.06.2013 в 12:38. |
|
Ответить |
3 "+" от:
|
|