|
|
Знаете ли Вы, что ... | |
...до того как открыть новую тему, стоит использовать поиск: такая тема уже может существовать. | |
<< Предыдущий совет - Случайный совет - Следующий совет >> |
Разминка для мозгов Загадки, задачи, головоломки - тренируем мозг |
Ответить |
|
Опции темы | Опции просмотра |
30.05.2013 03:45 | #41 |
|
__________________
Заходите в гости в мой блог :) |
|
Ответить |
"+" от:
|
31.05.2013 04:03 | #42 |
Сообщений: 924
+ 685
538/329
– 2
0/0
|
Визуально очень похоже, что общая часть двух кубов выглядит именно как у Тимофеуса на видео: 12-гранник, все грани треугольники - основания пирамид, отрезанных кубами друг от друга:
Но надо бы проверить, доказать, что ребра повернутого куба, не пересекающие ось поворота, пересекутся с аналогичными ребрами первичного куба. Тогда можно будет утвердить визуализацию и приступить к вычислениям
__________________
geom.uz |
|
Ответить |
Реклама и уведомления | |
31.05.2013 15:43 | #43 |
Сообщений: 924
+ 685
538/329
– 2
0/0
|
Рассмотрим нашу фигуру в двух проекциях:
Обратим внимание на красные и зеленые штрих-пунктирные линии. Предствами себе, что мы обратно совместили оба куба, а затем начали поворачивать их вокруг главной диагонали в противоположные стороны синхронно. Тогда уходящие вправо части куба симметричны уходящим влево относительно неподвижного радиального луча. Вследствие этой симметрии при любом относительном угле поворота ребра кубов, не пересекающие главную диагональ, будут пересекать друг друга по линиям симметрии - красным и зеленым. Следовательно, можно считать доказанным, что общая часть двух кубов ограничена 12-ю равными треугольниками, общая площадь которых составит общую площадь поверхности фигуры, а общий объем двух кубов за вычетом объема 12-ти треугольных пирамид (см. AB'EF), отсекаемых кубами друг от друга, составит объем общей части кубов. Теперь можно перейти к вычислениям.
__________________
geom.uz |
|
Ответить |
3 "+" от:
|
31.05.2013 23:52 | #44 |
Сообщений: 924
+ 685
538/329
– 2
0/0
|
На виде сверху радиус описанной окружности, равный проекции ребра куба, составляет 1/2^0,5. В правильном треугольнике ACB угол <AF1B=180°-60°-22,5°=97,5°. Горизонтальную проекцию AF1 найдем по теореме синусов: sin60°/AF1=sin97,5°/AB AF1=AB*sin60°/sin97,5° Аналогично находим горизонтальную проекцию AE1 треугольника DAC: sin60°/AE1=sin(180°-60°-37,5°)/AD AE1=AD*sin60°/sin82,5° Обратим внимание на то, что AB=AD, а sin82,5°=sin97,5°. Отсюда следует, что AE1=AF1= =((½)^0,5*3^0,5/2)/(¼*(3^0,5*(2+2^0,5)^0,5+(2-2^0,5)^0,5)) Это видно также в том, что треугольники E1F1C (черный куб) и E1F1B’ (синий куб) имеют общее основание и симметричны относительно прямой ss. Кроме того, в горизонтальной проекции <E1AF1=22,5°+37,5°=60°, значит, треугольник E1AF1 равносторонний. Площадь треугольника AF1E1 равна: S1=½ AE1*AF1*sin60°=½(AB1*sin60°/sin82,5°)^2*sin60°= =½ * ½ * ¾ * 3^0,5/2 / (sin82,5°)^2 =3/32*3^0,5/(1/8*(4+2^0,5(1+3^0,5)))= =3/4*3^0,5/(4+2^0,5(1+3^0,5)) Истинная площадь треугольника AEF после поворота грани ABCD вокруг прямой gg на 45° до совпадения этой грани с горизонтальной плоскостью: Saef=S1/cos45°=S1*2^0,5= =3/4*6^0,5/(4+2^0,5(1+3^0,5)) Соответственно, площадь поверхности фигуры, оказавшейся в пересечении кубов А и Б: S=12*Saef=9*6^0,5/(4+2^0,5(1+3^0,5)) ≈ 2,803 __________________ Для справки: sin22,5°=((1-cos45°)/2)^0,5=(2-2^0,5)^0,5/2 cos22,5°=((1+cos45°)/2)^0,5=(2+2^0,5)^0,5/2 sin82,5°=sin(60°+22,5°)=sin60°cos22,5+sin22,5°cos6 0°= =3^0,5/2*(2+2^0,5)^0,5/2+(2-2^0,5)^0,5/2*½= =¼*(3^0,5*(2+2^0,5)^0,5+(2-2^0,5)^0,5) (sin82,5°)^2=1/16*(3*(2+2^0,5)+2*3^0,5*2^0,5+2-2^0,5)= =1/16*(6+3*2^0,5+2*3^0,5*2^0,5+2-2^0,5)= =1/16*(8+2*2^0,5+2*3^0,5*2^0,5)= =1/8*(4+2^0,5+3^0,5*2^0,5)= =1/8*(4+2^0,5*(1+3^0,5))
__________________
geom.uz |
|
Ответить |
4 "+" от:
|
01.06.2013 01:11 | #45 |
|
__________________
Заходите в гости в мой блог :) |
|
Ответить |
01.06.2013 01:24 | #47 |
|
__________________
Заходите в гости в мой блог :) Последний раз редактировалось b_a_lamut; 01.06.2013 в 01:27. |
|
Ответить |
01.06.2013 01:40 | #48 |
|
Вот мне интересно, меняется ли площадь сечения, в зависимости от угла? Или для всех сечений на две равные части, площадь будет равна при любом разрезе?
__________________
Заходите в гости в мой блог :) |
|
Ответить |
"+" от:
|
01.06.2013 01:43 | #49 |
Сообщений: 924
+ 685
538/329
– 2
0/0
|
Хотя ужас уже в первой строчке "На виде сверху радиус описанной окружности, равный проекции ребра куба, составляет 1/2^0,5."
Это ж грани наклонены к горизонту под 45°. А ребра-то под 30°. Значит, ребро в горизонтальной проекции составляет 3^0,5/2. Уточняем расчеты: AE1=AF1= =(3^0,5/2*3^0,5/2)/(¼*(3^0,5*(2+2^0,5)^0,5+(2-2^0,5)^0,5)) Площадь треугольника AF1E1 равна: S1=½ AE1*AF1*sin60°=½(AB1*sin60°/sin82,5°)^2*sin60°= =½ * ¾ * ¾ * 3^0,5/2 / (sin82,5°)^2 =9/64*3^0,5/(1/8*(4+2^0,5(1+3^0,5)))= =9/8*3^0,5/(4+2^0,5(1+3^0,5)) Истинная площадь треугольника AEF после поворота грани ABCD вокруг прямой gg на 45° до совпадения этой грани с горизонтальной плоскостью: Saef=S1/cos45°=S1*2^0,5= =9/8*6^0,5/(4+2^0,5(1+3^0,5)) Соответственно, площадь поверхности фигуры, оказавшейся в пересечении кубов А и Б: S=12*Saef=27/2*6^0,5/(4+2^0,5(1+3^0,5)) ≈ 4,205
__________________
geom.uz |
|
Ответить |
3 "+" от:
|
Реклама и уведомления | |
01.06.2013 01:50 | #50 |
Сообщений: 924
+ 685
538/329
– 2
0/0
|
Зависит. При малых углах поворота общая часть двух кубов сравнима с кубом, а при угле поворота в 60 градусов торчащие пирамиды максимальны, соответственно минимальная и площадь, и объем общей части кубов. Как-то так, я думаю. Не зря же в формуле площади участвуют углы, производные от половинного угла поворота.
__________________
geom.uz |
|
Ответить |
2 "+" от:
|
|