Делим отрезок

[Barbedo]

Сообщение от Nadir Zaitov

Barbedo, а в чем выражено x? Отрезок? Число? Например, если x=Пи, то с помощью циркуля и линейки не решается, если x не задан отрезком.

Чтоб не возникало вопросов по поводу икса, задачу выше переформулировал так:
На плоскости заданы произвольный отрезок AB и отрезок единичной длины. С помощью циркуля и линейки разделить отрезок AB на два отрезка так, чтобы отношение одного из них к единице было равно отношению второго к первому.

[Nadir Zaitov]

Решилось в 2 этапа.

Сначала (этап 1) доказываем по построению, что соотношение между частями "построенного" отрезка AB будет x:x² (при известных отрезках длинной 1 и x), а потом (этап 2) по известному AB проводим построения в обратном порядке и тот самый отрезок длинной x и находим.

Эатп 1:

Берем отрезок длинной 1 (DС) и с одного (правого конца) восстанавливаем на перпендикуляре отрезок длинной x (AC).

К прямой AD в точке D восстанавливаем перпендикуляр до пересечения с прямой DC (точка Е). Откладываем отрезок длинной CE в продолжение отрезка AC. Получим точку B искомого отрезка AB.

Ясно, что AC²=DC×CE, т.е. x²=1×CE. Т.е. CE=CB=x²



Эатп 2:

Задан отрезок AB и отрезок длинной 1. Нужно на нем найти точку С.

Строим прямую p паралельную AB на расстоянии 1 (можно сделать дважды восстановив перпендикуляр и отложим отрезок динной 1). На ней находится вершина D прямоугольного треугольника DAE.

Строим прямую q под углом 45° проходящую через точку B (можно построить биссектрису прямого угла) .

Имеем угол pq, точку A внутри угла, а также знаем, что гепотенуза DE перпендикулярна p. Строим прямоугольный треугольник DAE. Как строить описано тут. Пересечение DE c AB даст нам искомую точку С. На ней находится вершина E прямоугольного треугольника DAE.

[Barbedo]

Сообщение от Nadir Zaitov

Строим прямую q под углом 45°

Классно!

[Nadir Zaitov]

Продолжим задачу.

Можно ли разбить отрезок в соотношении x:x²:x³? Т.е. разбить отрезок АВ на 3 части так, чтобы отношение длинны первого к длинне единичного, было равно отношениям длинн второго к первому и третьего ко второму одновременно.

В сторону построения по заданному эталону 1 и отрезку x построить отрезки x² и x³ вроде б не представляет труда, а вот обратно все востановить.... Милости прошу поломать на досуге голову.

[Barbedo]

Сообщение от Nadir Zaitov

Продолжим задачу.

Можно ли разбить отрезок в соотношении x:x²:x³? Т.е. разбить отрезок АВ на 3 части так, чтобы отношение длинны первого к длинне единичного, было равно отношениям длинн второго к первому и третьего ко второму одновременно.

В сторону построения по заданному эталону 1 и отрезку x построить отрезки x² и x³ вроде б не представляет труда, а вот обратно все востановить.... Милости прошу поломать на досуге голову.

Задачу о делении на две части я решил тупо:
x^2+x-a=0
x=(-1+(1+4a)^0.5)/2
это легко строится циркулем и линейкой.
а для трех частей надо будет решать
x^3+x^2+x-a=0
очень хочется извлечь кубический корень с помощью циркуля и линейки, но... но поломать голову над этим приятно!

[Nadir Zaitov]

В теме Wiki Построение с помощью циркуля и линейки.

Возможные и невозможные построения.

Все построения являются ничем иным, как решениями какого-либо уравнения, причем коэффициенты этого уравнения связаны с длинами заданных отрезков. Поэтому удобно говорить о построении числа — графического решения уравнения определенного типа. В рамках вышеописанных требований, возможны следующие построения:

• Построение решений линейных уравнений.
• Построение решений квадратных уравнений.

Грубо говоря построить x; x²; x³ возможно только потому, что они являются решением некоторого квадратного или линейного уравнения (возможно примененного несколько раз). Стало быть в одну сторону построение возможно.

В обратную сторону нужно решить указанное вами уравнение в общем виде и если там нет корня кубического, то решение опять таки возможно.

Сообщение от Barbedo

Задачу о делении на две части я решил тупо: x^2+x-a=0 x=(-1+(1+4a)^0.5)/2 это легко строится циркулем и линейкой.

Здорово. Вот этим математика как наука отличается от математики как искуство. Я мучался, ломал голову над уникальным и в моем понимании красивом решении, а Вы нашли общий (т.е. "тупой") подход для решения подобных задач. Приклоняю голову посыпая ее же тут же пеплом. Здорово (читай - я тупею с годами).

[Nadir Zaitov]

Сообщение от Nadir Zaitov

В обратную сторону нужно решить указанное вами уравнение в общем виде и если там нет корня кубического, то решение опять таки возможно.

Мда. Оказывается данное уравнение в общем виде имеет 1 действительное решение и оно имеет кубический корень в своем решении. Стало быть мучений не получается. Кубическое уравнение не решаемое построениями.