Тесный коридор

[Barbedo]

Старинный сюжет.

Наша задача вместе с пианино преодолеть поворот коридора. Ширина коридора до поворота 130 см, длина пианино 152 см, ширина 63 см. Мы справились, слегка зацепив обои, но не поцарапав при этом инструмент. Какова же была ширина коридора после поворота?

[Evgeniy Sklyarevskiy]

Оффтоп:

Никто не пострадал? :-0)

[b_a_lamut]

Сообщение от Barbedo

Мы справились, слегка зацепив обои, но не поцарапав при этом инструмент.

Хороший подарок к Новому году Поздравляю тебя и всех твоих соседей

[Evgeniy Sklyarevskiy]

Оффтоп:

Сообщение от b_a_lamut

и всех твоих соседей

У нас, если прислушаться иногда слышно, как кто-то играет на пианино, просто чудесно, я так скучаю по таким человеческим настоящим звукам...

[b_a_lamut]

Оффтоп:

Сообщение от Evgeniy Sklyarevskiy

У нас, если прислушаться иногда слышно, как кто-то играет на пианино

У нас соседка уехала, вместе с пианино... Теперь скучно.

[Nadir Zaitov]

Сообщение от Barbedo

Старинный сюжет.

Наша задача вместе с пианино преодолеть поворот коридора. Ширина коридора до поворота 130 см, длина пианино 152 см, ширина 63 см. Мы справились, слегка зацепив обои, но не поцарапав при этом инструмент. Какова же была ширина коридора после поворота?

Тут я думал над рисунком и понял, что он не правильный. Нет свободы при угле 45°. В такой ситуации вы уже ничего сделать не смогли бы. Т.е. при не большом зазоре за большое количество перетаскиваний вы бы смогли уже повернуть. Т.е. нужно найти минимальную ширину коридора после поворота для того, чтобы такой вот фокус провернуть.

Я буду считать, что критический угол поворота пианино - 45°, хотя это может быть и не верно. Интуитивно понятно, но не знаю как доказать, кроме как тупо вспомнить, что отрезок проходящий, через т. О и опирающийся на внешние стены коридора при 45° имеет минимальную, т.е. трудно проходимую длину. Буду такой отрезок называть хордой. Ширина общая коридоров (до и после поворота в сумме) с коэффициентом sqrt(2) дадут нам длину именно такой вот хорды.

Кстати длинна такой хорды у нас равна длине L пианино + 2 ширины W (благо угол 45°).

Стало быть ширина K2 коридора после поворота должны быть равна:

K2= (L + 2W)/sqrt(2) - K1, но не меньше W, так как иначе по определению такой рисунок не нарисуешь.

Подставляем: (152 + 2*63)/sqrt(2) - 130 = 66.5 см. Т.е. Ваш коридор после поворота не менее 66,5 см.

Как-то так.

[Nadir Zaitov]

Пытаясь доказать утверждение свыше, возникла сопутсвующая задача.
Какова должна быть ширина коридора, чтобы в ней пианино шириной W и длинной L повернуть на 90°. Не трудно увидеть - что это просто длинна диагонали прямоугольника в основании пианино: т.е. Sqrt(L²+W²), что явно больше, чем L и зависит от ширины W.

Может в этом свете задачка приобретет новый свет? Так как например, если бы ширина коридора конечного была бы W, то длинна исходного коридора должна была бы быть равна Sqrt(L²+W²). Т.е. предположение о критичности 45° не больше чем предположение... и при чем ошибочное.

[Nadir Zaitov]

Задался решить задачу системно - т.е. правильно.




Будем считать, что Пианино касается одной стороной точки О - это и означает, что мы движимся "впритирку".

Введем систему координат.

OХ - горизонтальная прямая, проходящая через точку О.
OY - вертикальная прямая (только согласно рисунку Barbedo, на практике то она также горизонтальна)

Пусть у - ордината точки M.

Ясно, что она не больше W (тогда пианино уже повернуто) и не меньше -L (тогда пианино еще не начало поворот.

Далее рассуждения таковые. Нам нужно найти максимум при разных M (c собственным углом поворота). расстояния от начала координат до точки R по оси OY. Чем дальше R находится - тем шире должна быть ширина коридора, в которую такое пианино можно затолкать.

Расстояние от точки М до точки O равно по теореме пифагора: y²+k1², где k1 - ширина коридора до поворота.

Другими словами нам нужно максимизировать функцию f(y)=y+L*cos(RMP), где RMP - угол, который также зависит от точки М (в каждой точку свой поворот).

Вычислим функцию f(y):

cos (угла OMN) = w/sqrt(y²+k1²)
sin (угла OMN) = sqrt(1-sin²(угла OMN))=sqrt(y²+k1²-w²)/sqrt(y²+k1²)
cos (угла OMS) = y/sqrt(y²+k1²)
sin (угла OMS) = k1/sqrt(y²+k1²)

cos(RMP) = cos(90° - NMS) = sin(NMS)
sin(NMS) = sin(OMS - OMN)=sin(OMS)*cos(OMN)-cos(OMS)*sin(OMN)

f(y)=y+L*(k1*w-у*sqrt(y²+k1²-w²))/(y²+k1²)

Условие касание точки О, при этом запишется в виде:

y²<L²+w²-k1² или

Далее нужно бы по хорошему подсчитать производную, ее приравнять к нулю и поискать что получится, но я леньтяй и я сделаю это в Excel и тупо подберу результат при данных k1, L и w.

И ответ получился, что ширина коридора после поворота была не менее 73,7 см.

Отличная задача! На вид простая, а на вкус - тяжело решаемая.