Круг на сети

[Nadir Zaitov]

Исходя из того, что пока лбое число получается обхватить кругом, возникает вопрос: иррациональность числа Пи гарантирует ли, что для любого заведомо известного N существует круг такой, что в него попадут ровно N узлов сети?

[b_a_lamut]

Сообщение от Nadir Zaitov

Исходя из того, что пока лбое число получается обхватить кругом, возникает вопрос: иррациональность числа Пи гарантирует ли, что для любого заведомо известного N существует круг такой, что в него попадут ровно N узлов сети?

Могу и ошибаться, но, по крайней мере, N не может быть равно трём и восьми, т.к. любой круг закрывающий три узла, может закрыть и четвёртый, а любой круг закрывающий восемь узлов, может закрыть и девять. Дальше не проверял, но может быть это натолкнёт на выведение закономерности.

[Shuhrat Ismailov]

Сообщение от Nadir Zaitov

Исходя из того, что пока лбое число получается обхватить кругом, возникает вопрос: иррациональность числа Пи гарантирует ли, что для любого заведомо известного N существует круг такой, что в него попадут ровно N узлов сети?

Это известно. Это гарантирует иррациональность числа sqr(2), а не ПИ.
Рассмотрим целочисленную решетку и окружность с центром О = (sqr(2), 1/3) ( с любым радиусом).
Легко видеть что в этой окружности может лежать более одной целочисленной точки (узла).
Действительно, если m и n - целые числа, то (m – sqr(2))^2 + (n – (1/3))^2 = A – 2msqr(2), где A - рационально. Поэтому в случае когда есть две точки, такие, что
(m1 – sqr(2))^2 + (n1 – 1/3)^2 = (m2 – sqr(2))^2 + (n2 – (1/3))^2
Отсюда m1 = m2. Но по теореме Виета сумма корней уравнения (n – (1/3))^2 = d равна 2/3, поэтому лишь один корень может быть целочисленным.
упорядочим теперь радиусы окружностей с центром О, проходящих через целочисленные точки, в порядке возрастания:
R_1 < R_2 < R_3 < ......
Рассмотрим окружность радиуса R с центром О такую, что R_N < R < R_N + 1.
Внутри нее лежит ровно N целочисленных точек.

[b_a_lamut]

Опять же, предполагаю не настаивая, что все N в квадрате минус единица выпадают из задачи.

[b_a_lamut]

Сообщение от ShN

Рассмотрим окружность радиуса R с центром О такую, что R_N < R < R_N + 1.
Внутри нее лежит ровно N целочисленных точек.

Прошу прощения, как вы знаете, с математикой у меня нелады. Какой радиус будет при N=15 или при N=24?

[Shuhrat Ismailov]

Сообщение от b_a_lamut

Прошу прощения, как вы знаете

Не стоит извиняться, я сам не знаю.
Доказана типичная теорема существования.

[b_a_lamut]

Сообщение от ShN

Доказана типичная теорема существования.

Предполагаю, что, в этой теореме есть исключения. Кропотливое исследование показало, что при данных условиях, N не может быть равно 3, 8, 15, и 24. А вот при дальнейшем увеличении числа N, скорее всего появятся другие закономерности и появятся гораздо больше объектов не пригодных для существования в этих условиях. Наверное будет интересно найти и эти закономерности.

[николай москвитин]

Сообщение от b_a_lamut

N не может быть равно 3, 8, 15, и 24.

А Вы проверьте методом "параллельного переноса", который я предложил. Обхватываете квадрат 3X3 и сдвигаете в любую сторону. При этом один из узлов непременно убежит вслед за угловым Заметьте,что в задаче даны два случая, и указанные Вами числа соответственно относятся только к первому пункту. Что если радиус уменьшить? Да Вы представьте в конце концов все квадраты такими же единицами!!! Тогда достаточно будет доказать для одного случая. (т.е. четвёртый узел большого квадрата (угловой) обязательно войдёт в круг).

[Наташа]

Сообщение от b_a_lamut

Предполагаю, что, в этой теореме есть исключения. Кропотливое исследование показало, что при данных условиях, N не может быть равно 3, 8, 15, и 24. А вот при дальнейшем увеличении числа N, скорее всего появятся другие закономерности и появятся гораздо больше объектов не пригодных для существования в этих условиях. Наверное будет интересно найти и эти закономерности.

В теоремах не может быть совершенно ни каких исключений... Просто в доказанной теореме есть дополнительные условия:

Сообщение от ShN

Рассмотрим целочисленную решетку и окружность с центром О = (sqr(2), 1/3) ( с любым радиусом).

-т.е. центр окружности располагается в совершенно определенном месте, но теорема ни чего не сообщает нам о свойствах при иных расположениях окружности (центр окружности располагаться в узле например и пр.)...

[b_a_lamut]

Сообщение от николай москвитин

Заметьте,что в задаче даны два случая

Эх, для начала с первым пунктом бы разобраться Вот вы можете сказать цифрами, какой должен быть минимальный размер радиуса окружности, окружность которого закрывала бы 15 узлов, но при этом не могла закрыть 16.

Сообщение от Наташа

В теоремах не может быть совершенно ни каких исключений... Просто в доказанной теореме есть дополнительные условия:

Сообщение от Nadir Zaitov

2. Для какого N круга соответствующего диаметра не существует?

Насчёт исключений - это я не правильно выразился Это не исключения, а второй пункт задачи