Круг на сети

[Nadir Zaitov]

Плоскость разлинована в клеточку 1×1 см. Пересечения линий назовем узлами.

1. Нужно найти радиус круга (круг включает свою границу - замечание для дотошливых математиков), чтобы:

• Кругом можно было покрыть не более одного узла.
• Кругом можно было покрыть ровно два, но не более двух узлов.
• Кругом можно было покрыть ровно три, но не более трех узлов.
• ...
• Кругом можно было покрыть N, но не более N узлов.

2. Для какого N круга соответствующего диаметра не существует?

3. Нужно найти радиус круга, чтобы:

• Кругом можно было покрыть ровно два и не менее двух узлов.
• Кругом можно было покрыть ровно три, но не менее трех узлов.
• Кругом можно было покрыть ровно четыре, но не менее четырех узлов.
• ...
• Кругом можно было покрыть N, но не менее N узлов.

Оффтоп:

Барбедо, думаю, оценил бы задачку

[николай москвитин]

Сообщение от Nadir Zaitov

Нужно найти радиус круга

Гипотеза: радиус круга для первого пункта должен быть меньше радиуса или равен радиусу описанной окружности фигуры, образованной узлами- но это,возможно, необходимое, но недостаточное условие. Также и для третьего пункта, только там он должен быть больше...

[Shuhrat Ismailov]

Сообщение от Nadir Zaitov

Барбедо, думаю, оценил бы задачку

Похожа на классичесую проблему круга
http://dic.academic.ru/dic.nsf/enc_m...ics/2551/КРУГА

Сообщение от николай москвитин

Гипотеза: радиус круга для первого пункта должен быть меньше радиуса или равен радиусу описанной окружности фигуры, образованной узлами

Сопоставим в соответствие окружности многоугольник целочисленный многоугольник.
Его площадь равна В + Г/2 − 1, где В количество целочисленных точек внутри многоугольника, а Г количество целочисленных точек на границе многоугольника.
Дальше нужно обсудить...

[Nadir Zaitov]

Сообщение от ShN

Дальше нужно обсудить...

Зачем долго обсуждать? А вы обхватите 3 точки так, чтобы 4 не обхватить - уже тема для размышлений.

[николай москвитин]

Сообщение от Nadir Zaitov

А вы обхватите 3 точки так, чтобы 4 не обхватить

Для пункта 1 нельзя (так как наличие трёх узлов предполагает наличие четвёртого, дополняющего их до квадрата, в противном случае кругом можно покрыть только 1 или 2 узла), для третьего можно (возьмём квадрат 2X2 и впишем в него круг радиусом 1, затем сдвинем круг параллельным переносом на очень небольшое расстояние под углом 45 градусов к границам сетки:внутри него останутся только 3 узла).

[николай москвитин]

Сообщение от николай москвитин

Для пункта 1 нельзя (так как наличие трёх узлов предполагает наличие четвёртого, дополняющего их до квадрата, в противном случае кругом можно покрыть только 1 или 2 узла), для третьего можно (возьмём квадрат 2X2 и впишем в него круг радиусом 1, затем сдвинем круг параллельным переносом на очень небольшое расстояние под углом 45 градусов к границам сетки:внутри него останутся только 3 узла).

Для пункта 3 похоже тоже нельзя (применим опять параллельный перенос (достал!) к кругу на этот раз по горизонтали ровно на половину клетки: тогда в нём будет два узла.

[b_a_lamut]

Сообщение от Nadir Zaitov

Плоскость разлинована в клеточку 1×1 см. Пересечения линий назовем узлами.

С тремя узлами загвоздка получается.

[b_a_lamut]

Сообщение от b_a_lamut

С тремя узлами загвоздка получается.

Хотя нет. Никакой загвоздки. При такой раскладке перекрывает 3, 4 и 5 узлов.



Осталось точнее определить пределы радиусов для каждого случая.

[Nadir Zaitov]

Сообщение от николай москвитин

Для пункта 3 похоже тоже нельзя

В том то и дело, что большим радиусом можно покрыть 3 не покрывая 4, а радиусом меньшим - нельзя. Думайте!

[Nadir Zaitov]

Сообщение от b_a_lamut

С тремя узлами загвоздка получается.

C тремя углами задачка тоже разрешима.
Вот картинки для "кругов" от 1 до 5.


Кстати, заметьте, что то, что круг, который накрывает четыре узла не всегда может накрывать ровно три, при этом есть Круги большего радиуса, которые накрывают три и четыре! Своего рода весьма не очевидный результат.

Сообщение от b_a_lamut

Хотя нет. Никакой загвоздки. При такой раскладке перекрывает 3, 4 и 5 узлов.

Баламут. Браво! Не сразу разобрался в рисунке.