Хитрый ролик

[Barbedo]

Цилиндрический ролик длиной L и диаметром D катится по горизонтальной плоскости без проскальзываний. В некоторый момент времени диаметр одного из оснований цилиндра начинает меняться пропорционально углу поворота ролика вокруг своей оси (при этом прямолинейность образующей сохраняется, т.е. ролик становится усеченным конусом) и уменьшается за два оборота ролика вокруг своей оси от D до нуля. Какую траекторию опишет на плоскости точка касания малого основания ролика к плоскости?

[Evgeniy Sklyarevskiy]

Сходящаяся спираль с радиусом равным = L * d / ( D - d )
d - уменьшающийся диаметр, раз в числителе, то при d = 0 радиус спирали будет нулевым. При равенстве диаметров радиус спирали равен бесконечности. За два оборота как раз и схлопнется. Но это не будет Архимедова спираль в чистом виде, так как знаменатель вносит поправку и пропорция радиуса и угла не прямая. Точнее, не совсем прямая :-0)

[Nadir Zaitov]

Сообщение от Evgeniy Sklyarevskiy

аяся спираль с радиусом равным = L * d / ( D - d )

Опять арифметика? Как Вы так быстро к этому пришли?

[Evgeniy Sklyarevskiy]

Сообщение от Nadir Zaitov

Как Вы так быстро к этому пришли?

Из подобия некоторых треугольников. Могу ош естественно.

[Barbedo]

Сообщение от Evgeniy Sklyarevskiy

Сходящаяся спираль с радиусом равным = L * d / ( D - d )
d - уменьшающийся диаметр, раз в числителе, то при d = 0 радиус спирали будет нулевым. При равенстве диаметров радиус спирали равен бесконечности. За два оборота как раз и схлопнется. Но это не будет Архимедова спираль в чистом виде, так как знаменатель вносит поправку и пропорция радиуса и угла не прямая. Точнее, не совсем прямая :-0)

Как насчет уравнения кривой?

[Nadir Zaitov]

Сообщение от Barbedo

Как насчет уравнения кривой?

Сообщение от Evgeniy Sklyarevskiy

Из подобия некоторых треугольников. Могу ош естественно.

Для построения уравнения кривой необходимо будет решить дифференциальное уравнение в стиле:

,

с начальными условиями:







где u - естественный параметр по длинне пройденного пути кривой.

Будем считать, что большее основание вращается равномерно во времени, то:

[Evgeniy Sklyarevskiy]

Сообщение от Barbedo

Как насчет уравнения кривой?

Так мы уже про плов... Но, кажется, рано. Мои формулы, оказывается, относятся к центру малого основания усеченного конуса, а не к точки касания малого основания с плоскостью. Они совпадают в начале и в конце процесса... а в середине его могут отличаться.Так что пошел еще думать.

[Nadir Zaitov]

Оффтоп:

Сообщение от Evgeniy Sklyarevskiy

Они совпадают в начале и в конце процесса... а в середине его могут отличаться.Так что пошел еще думать.

Да, да. Плов с Вас .

Дальше замечаем, что


или

[Nadir Zaitov]

Шухрат, а может дальше Вы сможите красиво решить. ЧТо-то у меня красота вдруг пропала...

[Nadir Zaitov]

Barbedo, сакажите, что есть более простое решение, а то ведь решать дифуры с частными прозводными не хочется.