|
|
Знаете ли Вы, что ... | |
...для каждой темы существует свой раздел. Изучите структуру форума. Если соответствующего раздела нет, то всегда есть раздел "Разное" :) | |
<< Предыдущий совет - Случайный совет - Следующий совет >> |
Разминка для мозгов Загадки, задачи, головоломки - тренируем мозг |
Ответить |
|
Опции темы | Опции просмотра |
07.08.2011 21:06 | #1 | ||
Сообщений: 10,921
+ 3,666
10,931/4,676
– 584
286/214
|
Племяннику на областной олимпиаде по математике дали такую задачу:
В прямоугольник со сторонами a и b вписана окружность с диаметром, равным короткой стороне a и центром в центре прямоугольника. Из одного из углов прямоугольника проведен отрезок, касающийся окружности, как показано на рисунке. Найти соотношение отрезков, на которые этот отрезок делится точкой касания. |
||
|
Ответить |
07.08.2011 21:51 | #2 |
|
__________________
http://www.matholymp.zn.uz |
|
Ответить |
08.08.2011 00:33 | #4 |
Сообщений: 3,206
+ 8,401
1,731/955
– 287
262/136
|
AB=BC & ED=DC как отрезки касательных. Обозначим их через m и k (т.е. AB=BC=m & ED=DC=k). У нас m=b/2. По теореме Пифагора для треугольника DBL имеем: (m-k)²+a²=(m+k)² m²-2mk+k²+a²=m²+2mk+k² a²=4mk k=a² /(4m). Отсюда: m/k=m/(a²/(4m))=(4m²)/a². Так как m=b/2, получаем: m/k= b²/a². |
|
Ответить |
5 "+" от:
|
08.08.2011 01:33 | #5 | |
Сообщений: 10,921
+ 3,666
10,931/4,676
– 584
286/214
|
Цитата:
|
|
|
Ответить |
"+" от:
|
08.08.2011 15:01 | #6 |
Сообщений: 10,921
+ 3,666
10,931/4,676
– 584
286/214
|
Мое решение было таким:
AB=BC & ED=DC как отрезки касательных, m=b/2 Треугольники АВО и ВСО равны Если взять угол АВО за t, то получается что угол ОВС=t. Треугольники EDO и СDO тоже равны. Поскольку углы АОВ и ВОС равны 90-t (здесь и далее цифры - в градусах), то углы EOD и DOC (они равны между собой) равны (180-(90-t)-(90-t))/2=t Значит, треугольники CDO и ВСО подобны. CD/CO=CO/CB k/(a/2)=(a/2)/(b/2) k=a²/2b k/m=(a²/2b)/(b/2)=a²/b² Последний раз редактировалось JH; 08.08.2011 в 15:07. |
|
Ответить |
|