Моё меню Общее меню Пользователи Правила форума Все прочитано
Вернуться   uForum.uz > БЕСЕДКА > Разминка для мозгов
Знаете ли Вы, что ...
...для каждой темы существует свой раздел. Изучите структуру форума. Если соответствующего раздела нет, то всегда есть раздел "Разное" :)
<< Предыдущий совет - Случайный совет - Следующий совет >>

Разминка для мозгов Загадки, задачи, головоломки - тренируем мозг


Ответить

 
Опции темы Опции просмотра
Старый 07.08.2011 21:06   #1  
Known ID Group uParty Member Ultimate
Аватар для JH
Оффлайн
Сообщений: 10,921
+ 3,666  10,931/4,676
– 584  286/214

Uzbekistan
Прямоугольник, окружность и касательная

Племяннику на областной олимпиаде по математике дали такую задачу:

В прямоугольник со сторонами a и b вписана окружность с диаметром, равным короткой стороне a и центром в центре прямоугольника. Из одного из углов прямоугольника проведен отрезок, касающийся окружности, как показано на рисунке. Найти соотношение отрезков, на которые этот отрезок делится точкой касания.
Ответить 
Старый 07.08.2011 21:51   #2  
Real ID Group uParty Member
Аватар для Shuhrat Ismailov
Оффлайн
Сообщений: 3,411
+ 2,928  2,654/1,361
– 84  129/82

UzbekistanОтправить сообщение для Shuhrat Ismailov с помощью Skype™Facebook
Цитата:
Сообщение от JH Посмотреть сообщение
вписана
В задании так и написано?
__________________
http://www.matholymp.zn.uz
Ответить 
Старый 07.08.2011 21:52   #3  
Known ID Group uParty Member Ultimate
Аватар для JH
Оффлайн
Сообщений: 10,921
+ 3,666  10,931/4,676
– 584  286/214

Uzbekistan
Цитата:
Сообщение от ShN Посмотреть сообщение
Цитата:
Сообщение от JH Посмотреть сообщение
вписана
В задании так и написано?
Уверен, что нет. Это я так оговорился.
Ответить 
"+" от:
Старый 08.08.2011 00:33   #4  
Аватар для iDead
Оффлайн
Сообщений: 3,206
+ 8,401  1,731/955
– 287  262/136

Uzbekistan


AB=BC & ED=DC как отрезки касательных.
Обозначим их через m и k (т.е. AB=BC=m & ED=DC=k). У нас m=b/2.

По теореме Пифагора для треугольника DBL имеем:
(m-k)²+a²=(m+k)²
m²-2mk+k²+a²=m²+2mk+k²
a²=4mk
k=a² /(4m).

Отсюда:
m/k=m/(a²/(4m))=(4m²)/a².

Так как m=b/2, получаем:
m/k= b²/a².
Ответить 
Старый 08.08.2011 01:33   #5  
Known ID Group uParty Member Ultimate
Аватар для JH
Оффлайн
Сообщений: 10,921
+ 3,666  10,931/4,676
– 584  286/214

Uzbekistan
Цитата:
Сообщение от iDead Посмотреть сообщение
AB=BC & ED=DC как отрезки касательных.
Обозначим их через m и k (т.е. AB=BC=m & ED=DC=k). У нас m=b/2.

По теореме Пифагора для треугольника DBL имеем:
(m-k)²+a²=(m+k)²
m²-2mk+k²+a²=m²+2mk+k²
a²=4mk
k=a² /(4m).

Отсюда:
m/k=m/(a²/(4m))=(4m²)/a².

Так как m=b/2, получаем:
m/k= b²/a².
Супер. Я пошел другим путем, ответ, ессно, тот же )
Ответить 
"+" от:
Старый 08.08.2011 15:01   #6  
Known ID Group uParty Member Ultimate
Аватар для JH
Оффлайн
Сообщений: 10,921
+ 3,666  10,931/4,676
– 584  286/214

Uzbekistan
Мое решение было таким:

AB=BC & ED=DC как отрезки касательных, m=b/2
Треугольники АВО и ВСО равны
Если взять угол АВО за t, то получается что угол ОВС=t.
Треугольники EDO и СDO тоже равны.
Поскольку углы АОВ и ВОС равны 90-t (здесь и далее цифры - в градусах),
то углы EOD и DOC (они равны между собой) равны (180-(90-t)-(90-t))/2=t
Значит, треугольники CDO и ВСО подобны.
CD/CO=CO/CB
k/(a/2)=(a/2)/(b/2)
k=a²/2b
k/m=(a²/2b)/(b/2)=a²/b²

Последний раз редактировалось JH; 08.08.2011 в 15:07.
Ответить 
3 "+" от:
Ответить
Опции темы
Опции просмотра




Powered by vBulletin® Version 3.8.5
Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd. Перевод: zCarot
Advertisement System V2.5 By Branden
OOO «Единый интегратор UZINFOCOM»


Новые 24 часа Кто на форуме Новички Поиск Кабинет Все прочитано Вверх