Созвездие Южный Крест

Shuhrat Ismailov · 19.11.2012 20:22

Известно, что S(ABC):PB=S(ACD):PD , но S(ABC)=0.5*AB*BC*sinB, S(ACD)=0.5*AD*DC*sin(180-B), значит AB*BC/PB=AD*DC/PD

Nadir Zaitov · 21.11.2012 10:11

Цитата:

Сообщение от Shuhrat Ismailov

Известно, что S(ABC):PB=S(ACD):PD

А вдруг это известно «ввиду условия задачи»?
Нужно более конструктивное доказательство.

Shuhrat Ismailov · 30.11.2012 19:05

Цитата:

Сообщение от Nadir Zaitov

Цитата:

Сообщение от Shuhrat Ismailov

Известно, что S(ABC):PB=S(ACD):PD

А вдруг это известно «ввиду условия задачи»?
Нужно более конструктивное доказательство.

Спасибо, Надир. Писал навскидку, времени не было формулы и рисунки выписывать.
Сегодня взялся
Доказательство.
Докажем сначала соотношение $\frac{S(ABC)}{PB}=\frac{S(ADC)}{PD}$ (*)
Для этого опустим высоты $BE,DF$ вышеупомянутых треугольников (см. рис.)

Отметим, что прямоугольные треугольники $BEP,DFP$ подобны (у них равные углы). Отсюда имеем
$\frac{BF}{PB}=\frac{DE}{PD}$
Учитывая это, получим
$\frac{S(ABC)}{PB}=\frac{AC\cdot BF}{2\cdot PB}=\frac{AC\cdot DE}{2\cdot PD}=\frac{S(ADC)}{PD}$
Равенство (*) доказано.
С другой стороны
$S(ABC)=\frac{1}{2}AB\cdot BC\cdot sin(\angle ABC)$ и
$S(ACD)=\frac{1}{2}AD\cdot CD\cdot sin(\angle ADC)=\frac{1}{2}AD\cdot CD\cdot sin(180^{\circ}-\angle ABC)=\frac{1}{2}AD\cdot CD\cdot sin(\angle ABC)$
Подставляем в (*) и сокращая полученные лроби, получаем
$\frac{AB\cdot BC}{PB}=\frac{CD\cdot AD}{PD}$ т.е.

$AB\cdot BC\cdot PD=CD\cdot AD\cdot PB$

Shuhrat Ismailov · 01.12.2012 10:34

Перепутал буквы E. F
Поэтому перепишу некоторые формулы, при доказательстве (*).

$\frac{BE}{PB}=\frac{DF}{PD}$
Учитывая это, получим
$\frac{S(ABC)}{PB}=\frac{AC\cdot BE}{2\cdot PB}=\frac{AC\cdot DF}{2\cdot PD}=\frac{S(ADC)}{PD}$
Равенство (*) доказано.

Знаете ли Вы, что ...
	...до того как открыть новую тему, стоит использовать поиск: такая тема уже может существовать.
	<< Предыдущий совет - Случайный совет - Следующий совет >>