Обитаемый полуостров

[Evgeniy Sklyarevskiy]

Полуостров представляет собой острый угол, внутри которого находится дом лесника. Как леснику, выйдя из дома, добраться до одного берега полуострова, затем до другого и вернуться домой, пройдя при этом по самому короткому пути?

[Наташа]

Я б сделала так:
- протоптала 2е тропинки от его дома к пляжам -самые короткие
-пошла б от хижины к пляжу самой короткой дорогой -по тропинке
-от пляжа прямиком к другому пляжу туда где у моря начинаеться 2ая тропинка
-по тропинке прям к хижине

[Evgeniy Sklyarevskiy]

Сообщение от Наташа

Я б сделала так:
- протоптала 2е тропинки от его дома к пляжам -самые короткие
-пошла б от хижины к пляжу самой короткой дорогой -по тропинке
-от пляжа прямиком к другому пляжу туда где у моря начинаеться 2ая тропинка
-по тропинке прям к хижине

А как доказать, что это самый короткий путь? Может, если все чуть сдвинуть в вершине угла, суммарный путь окажется короче?

[DarkUser]

т.е. мы имеем треугольник, одна вершина которого - дом лесника, а две другие - два берега, так?

в таком случае - находи ф-ю длины треугольника от - допустим - угла, и взяв от нее производную - находим точки мин/максимума...
хотя интуиция подсказывает, что треугольник должен быть равносторонним )

Сообщение от Наташа

- протоптала 2е тропинки от его дома к пляжам -самые короткие

вот-вот, а как найти эти самые короткие??
это только луч света знает, как ему двигаться, что-б самый короткий путь пройти

[Nadir Zaitov]

Сообщение от DarkUser

т.е. мы имеем треугольник, одна вершина которого - дом лесника, а две другие - два берега, так?

Нет, мы имеем кусок плоскости ограниченной двумя лучами, в нутри которой (в некоторой произвольной точке) живет лесник. Найти кратчайшую траекторию как увидеть два луча.

Сообщение от DarkUser

это только луч света знает, как ему двигаться, что-б самый короткий путь пройти

Не самый короткий, а самый быстрый Есть разница

[Nadir Zaitov]

Ясно, что траектория будет состоять из двух отрезков (как ни как пока по ровной местности кратчайшим расстоянием будет прямая).

Кроме того, ясно, что вторым отрезком будет кусок прямой, перпендикулярный одному из лучей (а именно второму, к которому мы бы пошли, добежав до первого).

Теперь предположим, что мы знаем, куда мы в итоге прибежим, то кратчайшее расстояние до него была бы траектория, при которой угол падения о первый луч равен был бы лучу отражения. Короче ясно, что от первого луча мы должны были бы "отразиться" и попасть под прямым углом на второй луч, при этом отражаться нужно от ближайшего луча. Но это теория, теперь о практике в следующем посте.

[Наташа]

Сообщение от DarkUser

вот-вот, а как найти эти самые короткие?? это только луч света знает, как ему двигаться, что-б самый короткий путь пройти

где то слышала что луч света может изгибаться...

Сообщение от Evgeniy Sklyarevskiy

А как доказать, что это самый короткий путь? Может, если все чуть сдвинуть в вершине угла, суммарный путь окажется короче?

для этого выразим длины ваших тропинок через длины моих и углы между ними, сложим все стороны триугольника (длину дорожки между пляжами выразим через теорему косинуов) - каждое из слагаемых минимально (при небольших углах) например когда углы между нашими дорожками равны нолю

[Nadir Zaitov]

Выберим начало в точке начала лучей, ось Х координат на том луче, который ближе к D (домику в деревне лесника), т.е. если опустить из точки D перпендикуляр, то его длинна y наименьшая из двух, при этом мы попадаем в точку X0 на примой "иксов". Идея вполне эмпирическая: чтобы дважды не ходить огромные расстояния нужно дойти до ближайшего края, а потом идти к наидальнейшему). Тогда в некоторой точке х луча длинна второго отрезка будет равна x*sin(Alfa) (Alfa - угол между лучами), а длинна первого отрезка будет sqrt((x-X0)^2+y^2).

Общий пробег равен x*sin(Alfa)+sqrt((x-X0)^2+y^2).

Пора искать минимум (дифференциировать). А вот дальше и писать не буду. У меня получился не очень красивый ответ: точка x = X0-y/(4ctg(Alfa)+3)

[Nadir Zaitov]

Сообщение от Наташа

каждое из слагаемых минимально например когда углы между нашими дорожками равны нолю

Каждое слагаемое минимально, но сумма может оказаться не минимальной. В геометрии это на каждом шагу. Спасибо, за пылкий ум, но явно ошибочка в рассуждениях.

[DarkUser]

Сообщение от Nadir Zaitov

Не самый короткий, а самый быстрый Есть разница

ок, поторопился, ошибся.

Сообщение от Nadir Zaitov

в некоторой точке х луча длинна второго отрезка будет равна x*sin(Alfa) (Alfa - угол между лучами), а длинна первого отрезка будет sqrt((x-X0)^2+y^2).

ммм.. насколько я понял из задачи - там еще третий отрезок должен быть - вернутся домой...