Парабола безопасности

[Evgeniy Sklyarevskiy]

Пушка стреляет, меняет угол наклона на 1 градус, снова стреляет, пока не обойдет 360 градусов (пушка приподнята над землей). Найти линию, огибающую все траектории снарядов.

[Nadir Zaitov]

Сообщение от Evgeniy Sklyarevskiy

Пушка стреляет, меняет угол наклона на 1 градус, снова стреляет, пока не обойдет 360 градусов

Начальное значение пушки не указано.
Если 0°, то на 270° разрыв (особое решение).

[Evgeniy Sklyarevskiy]

Сообщение от Nadir Zaitov

Начальное значение пушки не указано.
Если 0°, то на 270° разрыв (особое решение).

не важно, пусть начало 0°. Разрыва не будет, кривая вроде плавная, хотя может быть пик, не имеющей касательной.

Сообщение от Shuhrat Ismailov

Парабола безопасности

Там не парабола (я об огибающей), Barbedo смотрел — жуткая какая-то линия :-0))

[Nadir Zaitov]

Сообщение от Evgeniy Sklyarevskiy

Там не парабола (я об огибающей), Barbedo смотрел — жуткая какая-то линия :-0))

, заинтересовали.

[Shuhrat Ismailov]

Сообщение от Evgeniy Sklyarevskiy

Пушка стреляет, меняет угол наклона на 1 градус, снова стреляет, пока не обойдет 360 градусов (пушка приподнята над землей). Найти линию, огибающую все траектории снарядов.

Парабола безопасности

[Nadir Zaitov]

Давайте решать. Начнем с обозначений:

Пусть S(t) - некоторая точка в момент времени t траектории полета снаряда.

Тогда:



Будем для простоты считать, что S0=0, v0=1, g=1

Тогда все это можно переписать так:



Выразим Y через X.

Получим семейство кривых:



Теперь нужно избавиться от параметра С за счет перехода к дифурам и найти их особое решение. На самом деле мы и к дифурам не перейдем, так как семейство у нас уже есть. Я сразу попробую найти С-дискриминанту (дифференцируем уравнение системы кривых по параметру С).



Упрощая которое получаем, что:



Следовательно для особого решения:



Заметим также, что:



Подставляя значения С в уравнение семейства кривых получаем:



Раскрываем скобки и получаем:



Где я ошибся? Парабола с ветвями направленными вниз. И луч x=0 направленный по оси OY в минус бесконечность никогда не касается искомого особого решения, как я и предполагал.

[Shuhrat Ismailov]

Сообщение от Nadir Zaitov

Где я ошибся? Парабола с ветвями направленными вниз. И луч x=0 направленный по оси OY в минус бесконечность никогда не касается искомого особого решения, как я и предполагал.

Вы не ошиблись, Надир. Известно, что найденная в конце вами парабола не является геометрическим местом особых точек, т.к. ни одна из С-параметрического семейства парабол не имеет особых точек. Значит, найденная вами парабола является огибающей семейства траекторий. Т.к. ни одна точка за её пределами недостижима для снаряда, поэтому она называется параболой безопасности,

[Nadir Zaitov]

Шухрат, если уж совсем строго, то к слову x=0 - семейство особых точек как ни крути и оно появляется когда я сократил С-дискриминанту на x/cos²C. Ни при каком параметре С оно не появляется, однако решением задачи является. Вообще лопасти парабол схлопываются вокруг X=0 при tanС → ∞

Кстати, заметьте интересный факт. Каждая парабола семейства дважды касается огибающую. Дело в том, что выстрел под углом 0° и 180° - это ветви одной и той же параболы. Даже так выстрел под углом и под углом - это ветви одной параболы и обе касаются огибающую, что удивительно,так как обычно огибающая семейства касалась кривые лишь в одной точке.

Сообщение от German Stimban

Это если пушка стоит на земле, а если на возвышении?

Я привел пример картинки. Даже на нем снаряд уходит ниже нуля. При углах выше 45° видно, что касание уже идет в точках ниже горизонта. при 45° касание идет на уровне горизонта.

[Nadir Zaitov]

Вынес в отдельную тему, так как на практике задачка совсем не простая оказалась. Требует знания дифуров на уровне определения особого решения.
Пока решал нашел у себя столько ошибок, аж страшно стало.

[Nadir Zaitov]

Вот картинка для углов от 5° до 65° (от вертикали) и красным нарисована "огибающая"