Восстановить по следам
 

С помощью циркуля и линейки восстановить треугольник по его описанной окружности и точкам (следам) M, B и H пересечения с ней продолжений медианы, биссектрисы и высоты, опущенных из одной вершины.

Я предлагаю решать задачку поэтапно сообща. Простым ломанием головы в одиночку ничего не получается, может мозговым штурмом что-то сделаем?

Первое что мне удалось сделать - это найти ту самую вершину, с которой начинаются все эти следы.

Так как дуги, отрубаемые биссектрисой одинаковые, то легко доказать, что перпендикуляр опущенный из соответствующего угла параллелен радиусу, опущенному в точку B. Т.е. востанавливаем перперндикуляр и получаем исходную вершину треугольника.

О! Уже кое-что! Назовем вершину А. Далее соединяем найденную вершину А с точкой Н - это высота, проводим через Н перпендикуляр к этой линии АН и получаем направление линии треугольника, лежащей против высоты А.

Теперь эту линию надо двигать вдоль медианы, пока расстояния от медианы до точек касания не будут равны - но как это построить пока не вижу???

Мозговой штурм принял точное направление, остался последний ход :)

Проводим линию в этом направлении через центр окружности.
Центр описанной окружности является точкой пересечения серединных перпендикуляров.
Проводим через центр окружности перпендикуляр к только что построенной линии (т.е. параллельно найденной Надиром высоте) и в точке пересечения этого перпендикуляра с медианой ловим середину стороны, противолежащей точке А.

Классно!!!

Все думаю и не могу докопаться, нужны ли для построения все три точки :) И можно ли исключить одну из них.

Без следа биссектрисы не построить отрезок к центру, параллельный высоте, без следа высоты не построить вершину, без следа медианы не получить ее пересечение с радиусом, направленным в сторону следа биссектрисы, а значит, не восстановить основание треугольника. (Следует признать, что эти рассуждения верны только для нашего хода решения этой задачи:)
Существует мнение, что треугольник можно построить по любым трем его параметрам, однако, есть исключения. Например, нельзя построить треугольник по длинам трех его биссектрис.

Мозговой штурм очевидно удался :)

Этот пример будет вписан золотыми буквами в теорию сетевого общения :-0)