Парабола безопасности
 

Пушка стреляет, меняет угол наклона на 1 градус, снова стреляет, пока не обойдет 360 градусов (пушка приподнята над землей). Найти линию, огибающую все траектории снарядов.

Начальное значение пушки не указано.
Если 0°, то на 270° разрыв (особое решение).

Парабола безопасности

не важно, пусть начало 0°. Разрыва не будет, кривая вроде плавная, хотя может быть пик, не имеющей касательной.


Там не парабола (я об огибающей), Barbedo смотрел — жуткая какая-то линия :-0))

:), заинтересовали.

Давайте решать. Начнем с обозначений:

Пусть S(t) - некоторая точка в момент времени t траектории полета снаряда.

Тогда:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...tarrow{g}t^2}2

Будем для простоты считать, что S0=0, v0=1, g=1

Тогда все это можно переписать так:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...matrix}\right.

Выразим Y через X.

Получим семейство кривых:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...os^2&space;C}}

Теперь нужно избавиться от параметра С за счет перехода к дифурам и найти их особое решение. На самом деле мы и к дифурам не перейдем, так как семейство у нас уже есть. Я сразу попробую найти С-дискриминанту (дифференцируем уравнение системы кривых по параметру С).

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...&space;\alpha}

Упрощая которое получаем, что:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...\tan&space;{C}

Следовательно для особого решения:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...pace;1&space;x

Заметим также, что:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...^2C}-1=\tan^2C

Подставляя значения С в уравнение семейства кривых получаем:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...e;{x^2}\right)

Раскрываем скобки и получаем:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...;{x^2}&space;2

Где я ошибся? Парабола с ветвями направленными вниз. И луч x=0 направленный по оси OY в минус бесконечность никогда не касается искомого особого решения, как я и предполагал.

Вынес в отдельную тему, так как на практике задачка совсем не простая оказалась. Требует знания дифуров на уровне определения особого решения.
Пока решал нашел у себя столько ошибок, аж страшно стало.

Вот картинка для углов от 5° до 65° (от вертикали) и красным нарисована "огибающая"

https://img.uforum.uz/images/xkbahuh7369259.png

Это если пушка стоит на земле, а если на возвышении?

Вы не ошиблись, Надир. Известно, что найденная в конце вами парабола не является геометрическим местом особых точек, т.к. ни одна из С-параметрического семейства парабол не имеет особых точек. Значит, найденная вами парабола является огибающей семейства траекторий. Т.к. ни одна точка за её пределами недостижима для снаряда, поэтому она называется параболой безопасности,