Созвездие Южный Крест
 

Доказать, что в любом вписанном четырехугольнике ABCD с точкой P пересечения диагоналей AB*BC*PD=AD*DC*PB.

Как красиво доказать не знаю, но есть специальная формула для длин диагоналей четырёхугольника, теорема косинусов, теорема синусов. Хотя предложу всё же один вариант: использовать то, что треугольники CBP и DAP подобны и их площади относятся как квадраты соответственных сторон (+ теорема о вписанном угле).

В общем подобие треугольников. Доказывается вроде элементарно даже, но у меня никак не получается вывести соотношение. См.: BP/AP=BC/AD (подобие треугольников СBP и DAP). Отсюда: AP*BC=BP*AD. Домножаем на CD. Надо в итоге доказать: AP*BC*CD=AB*BC*PD, т.е. AP*CD=AB*PD. Но это верно из подобия треугольников ABP и DCP. Доказано.

Известно, что S(ABC):PB=S(ACD):PD , но S(ABC)=0.5*AB*BC*sinB, S(ACD)=0.5*AD*DC*sin(180-B), значит AB*BC/PB=AD*DC/PD

А вдруг это известно «ввиду условия задачи»?
Нужно более конструктивное доказательство.

Спасибо, Надир. Писал навскидку, времени не было формулы и рисунки выписывать.
Сегодня взялся
Доказательство.
Докажем сначала соотношение http://latex.codecogs.com/gif.latex?...ac{S(ADC)}{PD} (*)
Для этого опустим высоты http://latex.codecogs.com/gif.latex?BE,DF вышеупомянутых треугольников (см. рис.)
https://img.uforum.uz/images/zxbgakf9568184.jpg
Отметим, что прямоугольные треугольники http://latex.codecogs.com/gif.latex?BEP,DFP подобны (у них равные углы). Отсюда имеем
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...=\frac{DE}{PD}
Учитывая это, получим
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...ac{S(ADC)}{PD}
Равенство (*) доказано.
С другой стороны
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...gle&space;ABC) и
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...gle&space;ABC)
Подставляем в (*) и сокращая полученные лроби, получаем
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...&space;AD}{PD} т.е.

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...\cdot&space;PB

Перепутал буквы E. F
Поэтому перепишу некоторые формулы, при доказательстве (*).

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...=\frac{DF}{PD}
Учитывая это, получим
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...ac{S(ADC)}{PD}
Равенство (*) доказано.