Задачки по геометрии
 

Друзья, Коллеги, уже несколько дней мучаюсь решить задачи по геометрии, которые не смог решить мой младший брат, он учиться в лицее.
Помогите советом, вот одна из них:

В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC) вписанная окружность касается стороны АВ в точке M. Отрезок CM пересекает окружность в точке N. а высоту BD - в точке P. Известно, что MN:NC = 13:5. Найти отношение MP:PN.

Особенно интересуют мысли Надир ака, Шухрат ака и Barbedo. Если Вам будет интересно продолжу публикацию остальных задач в этом топике.

можно представить два варианта оди если треугольник MPN имеет высоту равную нулю. а другой если высота равна h>0

Оффтоп:

В этом видать и есть сингулярность: у нас, динозавров, если токи N и P лежат на отрезке MC, то явно MNP не имеет высоты в обычном понимании:).

Dilshod iloje bo`lsa o`zbekcha variantini bering, yordam beraman

Без решения, но может это поможет тем, кто умеет это делать. Если, конечно, я всё правильно понял :)

Рис.1 - заданные условия (равные стороны длиннее основания)
Рис.2 - равносторонний треугольник
Рис.3 - равнрбедренный (равные стороны короче основания)

https://img.uforum.uz/images/5448760.jpg

хм. не замечено сорри ) вообще чтото надо было написать, чтобы на задачу обратили внимание. да и интересно в принципе.

а что, если представить MPNC как трапецию с нулевой высотой, тогда
взяв форму площади трапеции можно попробовать вывести следующее

https://img.uforum.uz/images/3718672.jpg

соотвественно a = PN, b = MC, с = NC, d = MP, S=0

можно же и без этого заметить, что MN+NC=MP+PC - городить там огород с трапецией не стоит. 2 стороны в формуле известны (точнее их пропорции). Нужно найти еще одну, чтобы формулой воспользоваться, а вот с ней то и проблемы.

да, элегантнее... )

"элегантнее" у Вас, у меня проще. :)

элегантность - в простоте. или нет? у меня скорее гламурнее ))))

gerta, siz uchun tarjimasi:

Teng yonli ABC (AB=BC) uchburchakka ichki chizilgan aylana, AB tomonning M nuqtasida urinadi. CM kesma aylana bilan N nuqtada, BD balandlik bilan esa P nuqtada kesishadi. Agar, MN:NC = 13:5 nisbatda bo'lsa, MP:PN nisbatni toping.

Sizning yechimingiz ham men uchun qiziq.

b_a_lamut, большое спасибо, что не оставили без внимания мое сообщение и за красивое представление решения. Если я правильно понял, Ваше решение основано на практическом методе, т.е. сначала нужно начертить треугольник (на MathLab, MathCad и т.п.) с изначально заданными параметрами и по получившимся рисунку программно измерить нужные нам отрезки и найти требуемое соотношение? Если да, то как находится точка касания окружности со стороной треугольника, или это делается автоматически?

По условию задачи MN / NC = 13 / 5 = 2,6. А это значит, что АВ и ВС > AC, а отношение MP / PN > 1.

Есть производные пропорции, такие, как:
1. a / b = c / d = (na + mc) / (nb +md)
2. если a / b < c / d, то a / b < (a + c) / (b + d) < c / d
3. если a / b = c /d и n? v? p и r - произвольные числа, то
(na +mb) / (pa +rb) = (nc +md) / (rc + rd)

Или это не из той степи? :shok:

а женское мнение интересует? -потому, что у меня есть решение MP/PN =1,18:girl_blum:

а круг только одной стороны касается? или трех?

Эх, решения-то и не было, да и с программированием я не знаком. Просто, сначала черчу, а потом считаю. Что не есть верно. Ирония насчёт математики, скорее относится ко мне. Математиков, впрочем, как и всех, кто знает своё дело я очень уважаю :)
Обратите внимание ещё и на Наташу, она в этом деле поднаторела :)

Очень интересует :)

Женское мнение или женское решение? :) Давно пора выложить.

К решению всегда прилагается мнение... ©:girl_blum:

https://img.uforum.uz/images/5635389.gif
Допустим MN =13x тогда NC =5x а MC =MN+NC=18x заметим, что AM=AD=DC, из формулы MC*NC=DC*DC получаеться AM=AD=DC=3*10^(1/2)*x и AD=6*10^(1/2)*x. Дальше опускаем высоту ML на АС, понятно, что ML||BD :) Находим LC = MC*cos (a)=x*18cos(a), очевидно :), что треугольники LMC, DPC подобны, тогда LC/DC=MC/PC откуда РС = (18*3*10^(1/2))/(18*cos(a))=(3*10^(1/2))/cos(a) и MP= MC-PC =18x-x*(3*10^(1/2))/cos(a) а так же PN =MN-MP=-5x+x*3*10^(1/2)/cos(a) откуда получим:

MP/PN =(18cos(a)-3*10^(1/2))/(-5cos(a)+3*10^(1/2))

теперь остается найти cos (a) -находим из теоремы косинусов:
AM*AM = AC*AC+MC*MC -2*AC*MC*cos(a) -> 90 = 324+360 -2*cos(a)*(324*360)^(1/2) откуда cos (a) = 0,8696263565 :)

подставляем в формулу MP/PN =(18cos(a)-3*10^(1/2))/(-5cos(a)+3*10^(1/2)) =(18*0,8696263565-3*10^(1/2))/(-5*0,8696263565+3*10^(1/2)) =1,2 :girl_blum: :girl_blum:

Наташа, классно, спасибо. А то я просмотрел,что AC=2AM, хотя корень(90) пролучил сразу. Невнимательность подвела.

Наташа, спасибо большое за классическое решение задачи!:clapping:
Не знал, что MC*NC=DC^2

может оно и верно, но не понял откуда это взялось?

равенство AD=DC можно например найти из условия AB = BC и теоремы Пифагора AD=AB*AB-BD*BD=BC*BC-BD*BD=DC :)
про
читаем в справочнике или смотрим например здесь Теорему о касательной и секущей :)
ну а равенство AM=AD мягко вытекает например из этой же теоремы AM*AM=AD*AD :girl_blum::017:

Лишний раз убеждаюсь, что нет необходимости знать математику Достаточно практики. Древние именно так и поступали, а их построения и строения существуют до сих пор потому, что они не знали всяких вычислений и делали всё на глазок :)

Думаю, можно без тригонометрии:
https://img.uforum.uz/images/6770131.png
Пусть а=АМ=AD=DC, c=AQ, h=MQ.
Приняв NC за 1, имеем: а^2=MC*NC=18/5. Кроме того:
h^2+c^2=a^2 (I)
(2a-c)^2+h^2=MC^2=(18/5)^2 (II)
Вычитая I из II, находим
с=(7/20)(18/5)^0,5
Из подобия треугольников CG/CQ=CN/CM=5/18.
Отсюда СG=5/18 CQ=(5/18)(2a-c)=(33/20)(5/18)^0,5
DG=a-CG=(18/5)^0,5-(5/18)^0,5*(33/20)
Из подобия треугольников: MP/MN=QD/DG=(a-c)/(a-CG)=
=((18/5)^0,5-(7/20)(18/5)^0,5)/((18/5)^0,5-(5/18)^0,5*(33/20))=6/5.
Итак, MP/MN=6/5.

Извечный спор :) Теоретики снисходительно смотрят на практиков, удивляясь их нелогичности и отсутствием элементарных знаний. Практики скромны и покладисты (ну, о себе не говорю, конечно). Практики делают по чертежам теоретиков, что-нибудь этакое... По ходу дела, они изменяют размеры и материалы, в результате которых у велосипеда начинают крутиться колёса, а космические корабли отрываться от земли. После этого, теоретики, перемеряют размеры деталей, которые сделали практики, вносят изменения в чертежи и формулы, добавляют коэффициенты и получают премии. Эх, где бы мы сейчас были, если бы не теоретики. Вот, скажем, один древний грек, он построил треугольник, и только потом теоретики стали примерять на него штаны :)

Ну так, ты же, кроме теории, ещё и практику знаешь не по наслышке :). Хотелось бы, для повышения образования, посмотреть ещё и на граничные расчёты, при которых эти соотношения равны двум и единице, а когда больше или меньше и соответствуют ли действительности практические выводы :)

Мы дополняем друг друга. Когда ошибаются теоретики - практики исправляют. Вот и гармония получается :)

тогда по вашей теории я и практик и теоретик :girl_blum:-поскольку до сих пор чаще исправляла себя сама:girl_blum:

Эх, я не теоретик, но и с помощью логического расклада можно сделать вывод, что Вы не практик :) Мне лень это делать, тем более, что с помощью практических наблюдений можно придти к тому же выводу. Вы не практик, потому, что беспрекословно верите цифрам. Вспомните Геодокс. Вы поверили, что треугольники равны лишь потому, что было написанно, что стороны у них равны. А были бы практиком, и без измерений сторон увидели бы, что они не равны :)

Хм... верила ли я числам... -я никогда им не верила -сказать то они ничего не могут -пока не вложим в них какой нибудь смысл...:) тоже самое относиться и к черточкам, закорючкам -треугольникам и прочим каракулям:girl_blum:
-это наверно и есть самое важное отличие практиков от теоретиков...?:girl_blum:

Мне кажется, что лень больше относится к практике, а не к теории — думать головой, это вообще не работа, а вот копать, свистеть, танцевать, сверлить, петь, летать по ночам — требует усилия, а лень...

Полностью согласен. Думать - вредно, в отличии от - мечтать. Статистика показывает, что работают только 43% остальные 82% постоянно о чём-то думают. Никакого равновесия в природе.

Думать вредно, от дум лицо становится озабоченным, пухнет голова, и оттого на ней проступают извилины, в виде морщин. :buba:

2 Barbedo

сайт http://geom.uz интересный ) только пропишите там скрипт чтобы год копирайта автоматически обновлялся. и ещё - почему там совсем нет теории?

Спасибо! Попытаюсь учесть :)