Почему считается, что Гармонический ряд расходится?
 

Количество натуральных чисел (№ слагаемых) Гармонического ряда (далее ГР) и количество этих всех слагаемых в ГР ОДИНАКОВОЕ!
Количество натуральных чисел не может же превышать счетную бесконечность. А по определению считается, что сумма ГР расходится до бесконечности...
Чем же бесконеность суммы ГР бесконечнее "самого большого" натурального числа, которое увеличивается с шагом +1?
Получается, только по определению. Может "определение" такое?

Математики доказали, что для того, чтобы гармоническая сумма увеличивалась на 2,3 надо чтобы количество слагаемых в ГР возрастало аж в 10 раз! (Так это же в знаменателе ГР "натуральных не хватит"...)

Потому, что частичную сумму n первых членов ряда снизу и сверху можно оценить функцией ln(n)... а она в бесконечности имеет предел бесконечность, хотя стремится к бесконечности "медленно".

Но ведь ln(n)... растет существенно медленнее и где-то там в ХВОСТЕ ГР, когда любое ОДНО конкретное n можно ОЦЕНИТЬ сходящейся Геометрической прогрессией (далее ГП) с показателем, например n/(n+1)...
Мысленно можно повторить такую процедуру натуральное число раз, пока (математически неточно), предполагаю что придется в знаменателях слагаемых ГР такие натуральные использовать, что они "почти несчетными станут"...

Блин. Как тяжело Вас читать. Интересно, вы философствуете без чтения теории или это тонкий способ издевательства над математиками?

Может вам стоит книжки по высшей математики почитать, а не мучить остальных ерундой?

Нет ни малейшего желания помучить читателей, это сам мучаюсь (надеюсь не дурью), считая что ВСЕ во Вселенной счетно. Кстати и сабж раздела - разминка, а не соревнования по перетягиванию каната счетности. Считаю что считать как и что прочитать в разделе (только для любителей, для желающих, в т.ч. и из числа профессионалов) для разминки - решать читателям. А вдруг в деле отделения зерн истины от плевел сие может оказаться интересным.
Понял, что и В теме о Гимне я нахватал - как блох - минусов тоже из-за своего стиля изложения: так там по-своему своеобразно высказывался ЗА, и за то, чтобы непереборщить.
Поэтому сейчас о ГР скажу НЕ своими словами, а цитатой:В математике гармонический ряд представляет собой сумму, составленную из бесконечного количества членов, обратных последовательным числам натурального ряда[1]:
http://upload.wikimedia.org/wikipedi...7bb5ae3794.png.Ряд назван гармоническим, так как складывается из «гармоник»: http://upload.wikimedia.org/wikipedi...21e8759df3.png-я гармоника, извлекаемая из скрипичной струны, — это основной тон, производимый струной длиной http://upload.wikimedia.org/wikipedi...6519ac0049.png от длины исходной струны

И какое такое понятие бесконечного количества членов соответствует максимально высокой гармонике, извлекаемой из НАТУРАЛЬНОЙ скрипичной струны? Тут, как по мне, то есть некоторое несоответствие (по крайней мере НЕТ 1-1 соответствия математического) между ВСЕМИ натуральными числами и числом слагаемых ГР, а ряд назван гармоническим, так как складывается из «гармоник»...

Название в математике имеют бессистемный характер. Все совпадения случайны. В реальном мире (мире физиков и других обывателей) идеальный мир математиков имеет только прототипов. У нас (математиков) преступления всегда раскрываются, добро побеждает зло, ГАИ взяток не берут, струны бываю сколь угодно малой длинны, а суммарная длина таких струны уходит в бесконечность.

Вот точность и бесконечность, присущие математике, "подозрительны".
Ведь считается что вечная живучесть ВЕРЫ людей в истинность математических выводов, в однозначность математических понятий непоколебима. Даже пословицы и поговорки об этом: типа ясно, Как дважды два.
Но вот что интересно: оказывается математическая бесконечность, которую иногда обозначают при перечислении чего-либо ...многоточием, даже для очевиднейшей последовательности натуральных чисел имеет разный смысл:
1 2 3 4 5 6 7 ... Это многоточие ... обозначает увеличение № на +1. А вот в выражении таком:
последовательным числам натурального ряда[1]:
http://upload.wikimedia.org/wikipedi...7bb5ae3794.png
уже под многоточием понимается последовательность из слагаемых ГР.
А есть еще многоточие, обозначающее последовательность цифр в числе, например 3,14...
Оказывается, что натурального числа с бесконечным набором цифр. типа 9999999... не существует! Зато всегда можно получить СХОДЯЩУЮСЯ геометрическую прогрессию (далее ГП), в которой каждый последующий член = предыдущему, умноженному на 999...9/(999...9 +11), и которая сходится к ЛЮБОМУ натуральному +11, но будет меньше бесконечности гармонической суммы! Значит в числе 999...9 не может быть бесконечного числа цифр?
В конце концов получается так: определение расходимости ГР предполагает, что если для любого натурального всегда можно выбрать такое количество слагаемых ГР, что гармоническая сумма ПРЕВЫСИТ его=любое натуральное, - то это неоспоримый факт расходимости ГР.
А вот такая фраза: для любой сколь угодно большой суммы ГР всегда найдется натуральное, к которому сходится соответствующая Геометрическая прогрессия ... то это "не звучит".

Многоточием обозначается "не математическое" понятие "и так далее...", которая ставится скорее для наглядности, чем для обозначения. Строгая математическая запись - это знак Сигма с интервалами суммирования (от 1 до ∞) и указанием формулы доя исчисления суммируемого члена (1/к).

А вот то, что "бесконечности" бывают разные - это не новость в математике. К сожалению для Вас я не смогу тут раскрыть суть матанализа в части теории пределов в нескольких фразах - советую Вам почитать.

Например, выражения, получаемые подобными пределами как "0 × ∞", "0 / 0", "∞ / ∞ " в зависимости от методов подхода к нулю и бесконечности могут иметь совершенно любые числовые результаты (выражения эти являются вариантами деления на ноль, а как говорят школьники "на ноль делить нельзя", хотя на самом деле можно, если аккуратно).

infoliokrat, Вы знаете, мне кажется это всемирный заговор математиков. Причем самым центром этого заговора является понятие бесконечности (есть еще деление на ноль, но тут даже посвященные не все истину знают).
Вот к примеру, любой математик, скажет вам что ряд 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + ... - расходится, хотя простым сложением можно выяснить что его сумма равна 1/4.

Как это? Расскажите. Я не в курсе, как его можно "подсчитать простым сложением". Это шутка какая-нибудь?

если вкратце, то так.

А где там "простое сложение"?
Для 4s=1 не следует, что s=1/4. Вот в чем прикол. Там умножение на 4 условное.

Ну, как по мне - вообще любые операции с бесконечностью - весьма условны. Иначе и появляются непонятки в виде "сходящегося" гармонического ряда, парадокса Галилея etc.

Там речь об обобщенной сходимости. С нею я оказывается сталкивался, но очень сильно забыл. Помнится мы функциональные ряды предельным переходом по переменной сводили.

Например, можно условно суммирование расходящихся рядов представить так:
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...e;)^k}{k}x^{k}

Но как мне кажется, было доказательство, что расходящийся ряд можно так перетасовать, что можно заставить его сходиться к чему угодно.

Под знаком лимита все ряды сходятся :)

И, соответственно, интересны.'Nadir Zaitov
Например: (... пусть бесконечный набор цифр) сложим столбиком 1/3+1/3+1/3=3*1/3=0,99999...=0,999...99 =1= 1,000...01
Число 0,000...01 это что, разве НОЛЬ? Не эти ли "ненулевые нули" в неопределенностях учавствуют, которые приводил Nadir Zaitov...
(а может зря считается для недискретного мира, что любое число в иде десятичной дроби с разделительной ЗПТ можно цифрами записать в одну строку ОДНОЗНАЧНО?. Тогда и к бесконечным рядам "никаких претензий", пусть ведут себя как угодно, "беспредельщики же"=такие ряды.)

Было доказательство утверждения про условно сходящийся ряд (т.е. ряд, который сам сходится, а ряд из модулей его членов расходится). Такой ряд можно перетусовать так, чтобы получилась любая, наперед заданная сумма.
В то же время знакопостоянный расходящийся ряд как не тусуй, а сходящимся его не сделать. Тоже самое про абсолютно сходящийся ряд (т.е. ряд из соотв. модулей сходится , а сам не обязательно): как его не тусуй, а другую сумму не получишь.

В отношении знакопеременного расходящегося ряда в общем случае ряда, но сходящегося в обобщенном смысле, видимо, можно сделать то же самое.

Интересно, что СХОДИТСЯ т.н.
«Истончённый» гармонический ряд
Ряд Кемпнера (англ.)Если рассмотреть гармонический ряд, в котором оставлены только слагаемые, знаменатели которых не содержат цифры 9, то окажется, что оставшаяся сумма сходится к числу <80[7]. Более того, доказано, что если оставить слагаемые, не содержащие любой заранее выбранной последовательности цифр, то полученный ряд будет сходиться. Однако из этого будет ошибочно заключать о сходимости исходного гармонического ряда, т.к. с ростом разрядов в числе n, все меньше слагаемых берется для суммы "истонченного" ряда. Т.е. в конечном счете мы отбрасываем подавляющее большинство членов образующих сумму гармонического ряда, чтобы не превзойти ограничивающую сверху геометрическую прогрессию.
А чем хуже (чем "провинились") остальные цифры (кроме 9)? Если и для них применить УТВЕРЖДЕНИЕ аналогичное (правомочно или нет СИЕ- не знаю!), типа такого, что
Если рассмотреть гармонический ряд, в котором оставлены только слагаемые, знаменатели которых не содержат цифры ?, то окажется, что оставшаяся сумма сходится...

Это из ТЕМЫ о числе ПИ:
Ответы для п.1 - 3 очевидны: (надеюсь не только для инфолио). Если от 1/9 вычитать 1/00, потом 1/10000 и т.д. то
предел есть, ...

Сообщение от infoliokrat http://uforum.uz/images/buttons/viewpost.gif
...после ЗПТ может быть ЛЮБАЯ комбинация цифр в подобных числах).

Это не так. Вот вам задачка, чтоб сохранить ясность ума. Допустим возьмем такое рациональное число как 1/9. В десятичной записи оно выглядит так: 0,111111....
Теперь создадим такую последовательность рациональных чисел {A(N)}:

А(0)=0,111111111111111...
А(1)=0,101111111111111...
А(2)=0,101101111111111...
A(3)=0,101101110111111...
A(4)=0,101101110111101...

Т.е. в последовательности на для N того числа на месте отстоящим вправо на N+1 месте от последнего нуля в десятичной записи N-1-го числа в запись вставляется нолик. (кстати - хорошая задачка - написать итеративную функцию по определению A(N) по A(N-1)).

Докажите, что предельное число:

1. Предел последовательности {A(n)} существует (на самом деле она очень быстро сходится). Допустим это число A'.

2. A' - иррационально.

3. В десятичной записи A' не встречается никакая другая комбинация цифр, кроме огромного количества единиц с некоторым количеством нулей, причем чем больше единиц, тем меньше в последовательности нулей (в относительном показателе), причем для длинных чисел этот показатель стремится к нулю, хотя нулей в десятичной записи безусловно бесконечное множество.


Оффтоп:
Цитата:
Сообщение от infoliokrat http://uforum.uz/images/buttons/viewpost.gif
Но с тем, что брать (вычислять) такое количество цифр, которое самый мощный комп в н/вр не вычислит в течение Фсей жизни (средней) человека- что-то мне не очень охота согласиться-соглашаться.

А там нужны по 256 бит части, а их как раз не так много нужно...

Прошу прощения у читателей: подразумевал не
Если от 1/9 вычитать 1/00, потом 1/10000 и т.д. то
предел есть, ...
так как в числе 1/9 каждый 0 записывается в определенной позиции. то первое вычитаемое будет не 1/00, а 1/100 и т.д. Т.е. каждая замена 1 на 0 уменьшает исходное число.
А(1)=0,101111111111111... меньше чем 1/9 и т.д. В итоге имеем:
1. предел в диапазоне от 1/9 до 0 - очевидно что есть.
2. дробь НЕпериодическая- то что и надо для иррациональных.
3. + (тоже все ТОЧНО так, как и есть на самом деле).
Вот именно этот последний пункт инфолиоНЕнравится. (Прошу сразу сильно не бить и ногами не топать: но в точной математике пока не знаю точного отличия: ВО СКОЛЬКО раз нулей будет больше чем единиц в бесконечной последовательности 1 и 0 записанных в 1 строку?)
Т.е. почему бесконечность всех 1, которая ОЧЕВИДНО "бесконечнее" всех 0, нами же записываемых в строгом соответствии с нами же установленным законом, не может быть ТОЧНО вычислена? (Явное преимущество для введения так называемого Вселенсконатурального числа... чтобы любая бесконечность с любой "бесконечностью" были сопоставимы.)

Математика, почти как всеобщая методология, равноприемлемая для любых философий идеологий и цивилизаций (разве кроме народа ПИРАХА)...
Но именно то, что титанические усилия вычислений с любой точностью иногда далеки от реальности и подтолкнуло сгенерировать гипотезу Вселенсконатуральное число сгенирировать, т.е. считать Вселенную счетной (конечной, для ЛЮБЫХ практических расчетов), а то
что "бесконечности" бывают разные - это не новость в математике и оставить математикам.
Вот какой замечательный пример получился, после того как меня "подкузьмили на квантофоруме": там доказали, исходя из сходимости гармонического ряда, что озеро Байкал можно вычерпать наперстком, уменьшая его объем ...



Хайдук

ув. инфолиократ вычерпанию Байкала не поверит :lol:

Математика для чайников №3 17 Март 2017 19:09 #618
onedrey

Он просто не видел Конфуция

ОКАЗАЛОСЬ, что я все-таки прав: молекула воды не может бесконечно математически уменьшаться...

Там даже подсчитали, что меньше чем 100 грамм вычерпается только таким наперстком....

КвантоФорум :: Математика для чайников №3 (21/21)
quantoforum.ru http://quantoforum.ru/mathematics/23...art=600#383649

злоупотребляли сегодня вечером?

Чуть-чуть

Оффтоп:

антибиотик - ТРИ таблетки в упаковке на весь курс лечения

. См.
http://planeta.by/article/1488
У них в языке ТРИ гласных и восемь согласных... практически полностью лишен абстрактных понятий, таких как время, счет...

З павагай да неабыякавых

Скоро лето, и от этого становится немножечко теплей (тут сейчас 1 градус Цельсия). А как сказал кум: все меньше времени остается для живого общения.
Что-то, наверно не только из-за поста, этот раздел форума "простаивает". Вот заглянул в профиль предыдущего пользователя, прочитал что в его стране , вспомнил классическое: не понимают люди друг друга не потому что не могут, а потому что не хотят.

Предвижу мнение специалистов и "специалистов": а при чем здесь Гармонический ряд?
Так все дело в понятии ГАРМОНИЯ. В 1992 году придумывал свою инфолиократность (первоначально "триализм", потом "логософия", но после критики дфн завкаф, проф. местного техуниверситета - царства ему небесного, пришлось выбрать иное название предполагаемой гипотетической всеобщей методологии, ради которой и предположил дискретность и счетность всего,для чего и придал единичную систему счисления (запись любых чисел только 1й цифрой с разделительным знаком в одну строку) и предположил существование ОБРАТНОГО ФАКТОРИАЛа для любого положительного числа = инфолиофакториал, из-за которого и оказался на этом форуме).
Желающие использовали уже понятие триализма, тетра, пента и прочей кратности. Например: https://peacefromharmony.org/?cat=ru_c&key=543 Один из разработчиков, будучи кфн, на конференции местного педагогического университета, прочитав https://archive.is/73Lqv приглашал на саратовскую конференцию, после которой и появились тетрафилософия ... З павагай да неабыякавых