Целочисленный треугольник меченой линейкой
 

Как меченой линейкой с отмеченным отрезком данной длины можно построить абсолютно точно целочисленный треугольник?

Что можно делать этой линейкой:
1)Проводить прямые и строить их по двум точкам.
2) Прикладывать начало отмеченного отрезка к уже построенной точке, совместив край линейки с данной прямой и затем отмечать на этой прямой второй конец ("отсекать отрезок").

Таким образом, меченой линейкой всегда можно построить отрезок, равный целому числу отрезков величины, равной отмеченному.

Хотя идея задачи моя, точное решение принадлежит совсем другому человеку, но пока это личная тайна. Я же не только не смог точно построить, но даже не смог доказать своё построение.

Даю единственную подсказку: постройте квадрат меченой линейкой!

Предполагаю, что равносторонний треугольник и треугольник со сторонами 3, 4 и 5 не стоит рассматривать :)

Так диафантово уравнение x²+y²=z² имеет множество решений. Любая пифагорова тройка.

Я и предположил, что этот треугольник и равносторонний треугольник рассматривать не будем, ввиду очевидности :) Интересно, есть ли другие треугольники, удовлетворяющие условие задачи?

А как бы Вы построили равносторонний?

Мне не кажется это очевидным.

Насколько я понял - квадрат этой линейкой построить можно. Значит можно построить и перпендикуляры, и параллели.

Берём отрезок. К его концам прилаживаем две перпендикулярные прямые. От одного конца отрезка проводим прямую на противоположную перпендикулярную линию. Эта прямая равна двум отрезкам. Повторяем то же самое с другим концом отрезка :)

https://img.uforum.uz/images/ixakwka6575237.jpg

Формально это нельзя сделать без циркуля.

Формаьно - да. Нельзя даже построить треугольник со сторонами 3, 4, 5.

Но,
Значит можно :)

Так в том то и дело, что построить его тоже нужно уметь. Вы нашли как?

Нет конечно. В этом я слабак :)

Оказалось, что тоже не так сложно :)

https://img.uforum.uz/images/hhqdipb5648362.jpg

Т.е. построили прямоугольник, а из него вытекает всё остальное.

Баламут, как все просто оказалось :) Квадрат даже не нужен, достаточно прямого угла. На нем строим треугольник со сторонами 3, 4 и 5

Точно. Вот, в общем виде и квадрат, на всякий случай, отобразил.

https://img.uforum.uz/images/rftzkon612024.jpg

Следующее задание: построить равносторонний треугольник со стороной, равной отрезку на линейке.

Немного длинный метод, но гарантированно работающий. Если на линейке можно отмечать другие отрезки, то задача немного упрощается.

1. Строим квадрат угол по методу Balamut'a.
2. Чертим диагонали (красные линии) и отмечаем точку их пересечения (A).
3. Отмеряем на линейке произвольный отрезок длиной более отрезка, но меньше чем длина отрезка умноженная на корень квадратный из двух. Чертим два отрезка этой длины таким образом, чтобы один конец лежал на вершинах квадрата, а другой конец на другой стороне квадрата. Точка их пересечения обозначается B
4. Через A и В проводим прямую (серая линия), которая пересекает стороны квадрата посередине под прямым углом. Стало быть она является медианой/биссектрисой/высотой будущего треугольника.
5. Откладываются отрезки требуемой длины (зелёные линии) таким образом, чтобы один конец отрезка совпадал со сторонами квадрата, а другой лежал на прямой АВ
6. Всё готово. Надеюсь, такой вариант подойдёт. Признаю, что скорее всего есть более простые методы, но думать лениво.

https://img.uforum.uz/images/uvawlsg7815876.jpeg

Прямой угол мы уже начертили. На одной из сторон чертим отрезок отмеченный на линейке. Приравняем его к единице и пусть он будет катетом прямоугольника. Проводим гипотенузу равную двум катетам. По условию задачи - имеем на это право. Центр гипотенузы мы знаем, т.к. сами отметили его на линейке. Из этого центра проводим прямую в прямой угол. Юридически По всем законам получившийся отрезок обязан быть равным единице. В итоге, получился равносторонний треугольник.

Оффтоп:

Сейчас Надир и Шухрат скажут, что мы нашли друг друга и, главное, никому не мешаем :)

https://img.uforum.uz/images/othpvgj4499501.jpg

Так нужно сначала прямую провести, а потом отложить, но не наоборот.

Там нет квадрата, а только прямой угол или прямоугольник. Измерять сторону или делать насечки на линейке, как я понял, нельзя.

У нас же есть линейка, на которой мы можем отметить два равных отрезка. Останется совместить конец катета с перпендикулярной ему прямой, ведь по условию:

Насечки на линейке, наверное, делать можно, ведь в пояснении к задаче говорится:

И если у нас есть прямоугольник, то, имея такую линейку, из него легко сделать квадрат, а затем, принять сторону квадрата за единицу. Или всё не так?

Прикладывать можно к уже имеющейся прямой, а не пользоваться линейкой как циркулем, чтобы подогнать прямую

Тогда, вот квадрат, а дальше, как предлагал Герман :)

https://img.uforum.uz/images/kgvzfvi2501919.jpg

Даже если на линейке можно наметить отрезок, выделенную красным операцию проделать невозможно. Для этого нужен циркуль. Как было сказано, линейку можно прикладывать к двум уже имеющимся точкам и проводить прямую, или приложить к уже имеющейся прямой и отметить отрезки. "Чертим так, чтобы конец оказался на прямой" - этого по правилам сделать нельзя.

Сторона квадрата равна 1,0. На диагоналях квадрата откладываем отрезки AB = CD =1,0. Из точек А и С проводим прямые через точки D и B, до пересечения в точке Е. Эти прямые пересекут сторону квадрата в точках G и H. Соединяем точки A и H и точки C и G. Они пересекутся в точке F. Получили треугольник AFC со сторонами равными 1,0. Довольно точно, ну, разве что, с небольшой погрешностью. :)

https://img.uforum.uz/images/altvmvo4869731.jpg

Что мешает отложить два прямых угла на двух концах отрезка и на сторонах прямого угла отложить отрезки указанной длины?

Это предполагает иметь циркуль, если отрезки не данной фиксированной длины. В указанном прямоугольнике стороны могут быть произвольными и с вероятностью 1 не совпадут с длинной заданного отрезка.

Надир, последние два рисунка начерчены без применения линейки в качестве циркуля.
Вроде бы всё с размерами совпадает. Или есть сомнения? :)

Последний рисунок красивый, но нужно доказать.

Точно! Только я не умею :) Может кто-нибудь докажет или опровергнет?

Оффтоп:

Что-то Николая не видно.

Отрезки данной фиксированной длины, заранее оговорённой