![]() |
Задачи с Московской Математической Олимпиады
Вспомнилось участие в этой олимпиаде, решил поискать в интернете. Как пишется на официальном сайте:
Цитата:
Задача №1. Числа p и q таковы, что параболы y=-2x^2 и y=x^2+px+q пересекаются в двух точках, ограничивая некоторую фигуру. Найдите уравнение вертикальной прямой, делящей площадь этой фигуры пополам. Задача №2. Найдите наименьшее натуральное n, для которого число n^n не является делителем числа 2008!=1· 2·...· 2008. Задача №3. На едином экзамене 333 ученика допустили в общей сложности 1000 ошибок. Возможно ли при этом, что учеников, сделавших более чем по 5 ошибок, оказалось больше, чем учеников, сделавших менее чем по 4 ошибки? Задача №4. Через центр O вписанной в треугольник ABC окружности проведена прямая, перпендикулярная прямой AO и пересекающая прямую BC в точке M. Из точки O на прямую AM опущен перпендикуляр OD. Докажите, что точки A, B, C и D лежат на одной окружности. Задача №5. Станок выпускает детали двух типов. На ленте его конвейера выложены в одну линию 75 деталей. Пока конвейер движется, на станке готовится деталь того типа, которого на ленте меньше. Каждую минуту очередная деталь падает с ленты, а подготовленная кладется в ее конец. Через некоторое число минут после включения конвейера может случиться так, что расположение деталей на ленте впервые повторит начальное. Найдите: а) наименьшее такое число, б) все такие числа. Задача №6. Игрок на компьютере управляет лисой, охотящейся за двумя зайцами. В вершине A квадрата ABCD находится нора: если в нее, в отсутствие лисы, попадает хотя бы один заяц, то игра проиграна. Лиса ловит зайца, как только оказывается с ним в одной точке (возможно, в точке A). Вначале лиса сидит в точке C, а зайцы — в точках B и D. Лиса бегает повсюду со скоростью не больше v, а зайцы — по лучам AB и AD со скоростью не больше 1. При каких значениях v лиса сможет поймать обоих зайцев? Задача №7. Среди вершин любого ли многогранника можно выбрать четыре вершины тетраэдра, площадь проекции которого на любую плоскость составляет от площади проекции (на ту же плоскость) исходного многогранника а) больше, чем 1/4, б) не меньше, чем 1/9, в) не меньше, чем 1/7? |
Цитата:
На самом деле площадь поверхности x^2+px+q<у<-2x^2 (учитывая направления ветвей парабол возможен только такой вариант), эквивалентно по площади 3x^2+px+q<у<0, а это уже симметричная фигура с центром -b/2a = -p/6 Интересно, что от q решение совсем не зависит. Вроде б так. |
Цитата:
f(p)=[2008/p]+[2008/p^2]+... (ясно, что это на самом деле не бесконечный ряд, если p - натуральное числ большее 1) для того, чтобы оно не было делителем известно, что: f(p)<p или [2008/p]*p+[2008/p^2]*p+... <P^2 Раз так, то второй и последующие члены в функции f(p) для искомого p равны нулю. Стало быть нужно искать минимальное число p типа P^2>2008 и такое число 45, так как корень(2008)=44,8... Ответ: 45. |
Цитата:
200 учеников допустили по 5 ошибок => 200*5 = 1000 Если "более, чем по 5 ошибок" не включает число 5, то не может: 166 учеников максимум могут допустить по 6 ошибок => 166*6 = 994 Но 166 - это меньшенство из 333 человек (333/2 = 166,5). |
Цитата:
|
Цитата:
9^9 - может быть делителем, 5^5 - может быть делителм, но 45^45 - может уже делителем не быть. :)... Кстати в задачке 3 у всех могут быть по 4 ошибки, кроме как у ограниченного числа... так что там не все гладко в моем решении :) и ваш стертый комментарий при модификации имеет смысл :) |
Цитата:
|
Цитата:
(5*10*15*20*25*...*225)*(9*18*27*36* Цитата:
|
Цитата:
В формуле, указанной мной выше, нужно делить не на p, а наибольшее простое число, являющееся делителем p. Тогд придется сразу задать, что p - простое, так как иначе оно не наименьшее. Тогда берем только простое p и тогда это будет 47. |
Цитата:
Цитата:
2008! делится на 46^46, но не делится на 47^47. Оффтоп: а) Среди множителей 1, 2... ,2008 есть более 100 (а значит есть 46) четных чисел их произведение делится на 2^46.б) по формуле Надыра f(23)= целая часть (2008/23)+целая часть (2008/23^2)+.....=целая часть (2008/23)+0+....), значит 2008! делится на 23^46. Объединяем а) и б), получим, что 1· 2·...· 2008 делится на (2^46)(23^46)=46^46. Теперь вычислим показатель степени f(47) , ибо 47 -простое. f(47)= целая часть (2008/47)+целая часть (2008/47^2)+.....=целая часть (2008/47)+0+....=42 Значит произведение 1, 2... ,2008 делится на 47^42, но не делится на 47^47. |
Что-то третяя задачка мне не нравится. Уж очень запутанный рисунок получился, а без циркуля и линейки красиво рисовать я не научился. Попробую решить дома за столом... когда доберусь до стола, циркуля, бумаги и до свободного времени.
Четвертую пропущу - задача не понятна. Условия со сплошным домысливанием. Мне чем то ответ в 2 минуты очень похож на реальность (при специальном раскладывании деталей) Цитата:
v=sqrt(2) и более. 1) Если заяц B или D бежит к норе со всех ног со скоростью 1, то минимальная скорость, чтобы ее догнать должна быть Sqrt(2) (линейная скорость при беге по диагонали квадрата). 2) Теперь представим, что зайцы стоят у себя в углах. Т.е они выберут стратегию, что как только вы побежите к одному зайцу второй сорвется и побежит к норе. Тогда нужно бежать сначала по диагонали к центру. Если зайцы сорвутся, то задача не отличается от варианта 1. Скорости Sqrt(2) достаточно и следовательно зайцы будут стоять на месте. 3) Стало быть Лиса уже в центре квадрата, а зайцы у себя в углах. В такой ситуации заяц, к которому побежит лиса долже убегать от лунки, а заяц с противоположной стороны должен бежать к лунке и эта стратегия требует максимум скорости от лисы, так как поймав ближайшего зайца ей придется поспешить с догоном другого. Теперь остается составить и решить системку: Решить до конца сейчас не успеваю... домой пора бы. Думаю утром додумаю. |
Цитата:
Пусть a=BC, b=AC, c=AB, AL – биссектриса угла BAC треугольника ABC. Тогда BL=ac/(b+c), CL=ab/(b+c). Согласно свойству биссектрисы AE внешнего угла BAA’ треугольника ABC: EB/EC=AB/AC=c/b, следовательно, EB/(EB+a)=c/b; b*EB=c*EB+ac; EB=ac/(b-c); EL=EB+BL=ac/(b-c)+ac/(b+c)=2abc/(b^2-c^2) AL=(bc-BL*CL)^0,5= =(bc-(a^2*bc)/(b+c)^2)^0,5=(bc((b+c)^2-a^2)/(b+c)^2)^0,5= =(bc(b+c+a)(b+c-a))^0,5/(b+c); OL=AL*BL/(BL+c)= =((bc-(a^2*bc)/(b+c)^2)^0,5)*(ac/(b+c))/((ac/(b+c)+c)= =((bc-(a^2*bc)/(b+c)^2)^0,5)*(a/(a+b+c))= =a(bc(b+c+a)(b+c-a))^0,5/((b+c)(a+b+c)). AE || OM. Из подобия треугольников AEL и OML следует: ML/EL=OL/AL; ML=EL*OL/AL= =(2abc/(b^2-c^2))*(a(bc(b+c+a)(b+c-a))^0,5/((b+c)(a+b+c)))/((bc(b+c+a)(b+c-a))^0,5/(b+c))= =2bca^2/((b^2-c^2)(a+b+c)). Соответственно, MB=ML-BL=2bca^2/((b^2-c^2)(a+b+c)) - ac/(b+c)= =a(2abc-c(b-c)(a+b+c))/((b^2-c^2)(a+b+c)); MC=ML+LC=2bca^2/((b^2-c^2)(a+b+c))+ ab/(b+c)=a(2abc+b(b-c)(a+b+c))/((b^2-c^2)(a+b+c)). После преобразований: MB=ac(b+c)(a+c-b)/((b^2-c^2)(a+b+c)); MC=ab(b+c)(a+b-c)/((b^2-c^2)(a+b+c)). MB*MC=bca^2(b+c)^2(a+c-b)(a+b-c)/((b^2-c^2)(a+b+c))^2= =bca^2*(a+c-b)(a+b-c)/((b-c)^2*(a+b+c)^2) (I) Рассмотрим теперь треугольник AML. Eго высота AH=h=½ ((a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c))^0,5/a Его площадь: S=½ h*LM=½ OM*AL. Отсюда: OM=h*LM/AL=h*2bca^2/((b^2-c^2)(a+b+c))/(bc-(a^2*bc)/(b+c)^2)^0,5= =½ (((a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c))^0,5/a)*(2bca^2/((b^2-c^2)(a+b+c)))/(bc(a+b+c)(b+c-a))^0,5= =a(bc)^0,5((a+b-c)(a-b+c))^0,5/((b-c)(a+b+c)) (II) Сравнив (I) и (II), заметим, что OM^2=MB*MC, следовательно OM равен длине касательной, проведенной к описанной окружности треугольника ABC из точки M. Пусть точка D’ - второе пересечение секущей AM с описанной окружностью треугольника ABC. Построим на отрезке AO как на диаметре окружность W. Тогда точка D принадлежит этой окружности, поскольку ADO - прямой угол, а MO – касательная, проведенная к этой окружности из точки M. Поскольку касательные к окружности W и описанной окружности треугольника ABC, проведенные из точки M, равны, MD*MA=MD’*MA=OM^2 и MD’=MD. Следовательно, точки D И D’ совпадают и точка D лежит на описанной окружности треугольника ABC, ч.т.д. Наверняка есть простое и красивое решение... но что-то не получается углядеть пока :) |
Цитата:
Стало быть в соответствии со случаем 3 Лиса у нас в центре О квадрата. Ей нужно догнать зайца, например, B бегущего к точке С и затем успеть добежать до зайца D, бегущего к А. Допустим он догонит первого зайца за время t1, а второго за время t2. Ясно, чтобы время было оптимальным должно быть t1+t2=1. Если меньше, то есть избыточность в скорости, а если больше, то заяц D успеет забежать норку A. Ясно также, что вторую мышку лиса должна поймать прям у входа в норку. По теореме косинусов: v×t1=sqrt(1+t1²-t1×sqrt(2)). v×t2=sqrt(1+t1²). t1+t2=1 0< t1 < t2 <1 Вот далее получается уравнение 4-й степени. Как взять его проще и быстрее - е додумался, хотя вродеб возможностей масса. |
Еще задачка с ММО: Цитата:
|
Еще одна и простая и сложная:
Цитата:
|
Д = Х + К
Д = 0.6Х + 1.2К => Д - 0.6Д = 1.2К - 0.6К Д = 1.5К => a) 1.5K > 1.4K b) 1.5K > 1.44K Т.е. хватит. p.s. Два варианта, ибо не понял к чему применять вторичное повышение цен. |
Цитата:
|
Цитата:
|
Текущее время: 18:47. Часовой пояс GMT +5. |
Powered by vBulletin® Version 3.8.5
Copyright ©2000 - 2025, Jelsoft Enterprises Ltd. Перевод:
OOO «Единый интегратор UZINFOCOM»