До ответа мы не дошли. Если считать искомые траектории ломаными типа предложенных ДжХ и Тимуром, то осталось найти минимум по числу сторон многоугольника.

https://img.uforum.uz/images/egmttih5081960.jpg

6396 метров.

как появился конкретный первый отрезок?
Тем не мение, подвигав на вашем рисунке первый отрезок туда-сюда, получим стратегию Надыра
https://img.uforum.uz/images/oomylld7306689.jpg
А если так подвигать,
https://img.uforum.uz/images/yyklxoh8447720.jpg

то получим 2+корень(2)+П=2+1,41+3,14 =6,55
Истина где-то посередине

Из оптимизации по a:

pi/2 - 2a + tg(a) + 1/cos(a) -> min

или после дифференциирования получаем, что а=30°=pi/6

хотелось бы заметить: в условии задачи не сказано, что дорога является прямой.
В конце концов дорога может как раз только начинаться с точки, удалённой на 1 км от начало пути. И решение для этой задачи - то, что предложил ShN

Сейчас сообщество решает уже другую задачу, предложенную JH, в которой указывается, что дорога является бесконечной прямой. А некоторые в этом топике решают задачу, в которой дорога является прямой только на определённом участке

У меня получилось 6,397 оптимум. Возможно ошибка округления.

Отличная задача, спасибо топикстартеру и всем участникам дискуссии.

Наверное все ж дорога должна рассматриваться прямой. В лесах это просеки, которые "как это у нас заведено" делают прямыми.

Согласен на 100%, хотя не уверен, что мы нашли оптимальный вариант. Оптимум должен быть по идее симметричным, а в этой задаче чувствуется, что что-то не так.

Откуда pi/2 - 2a?
Там длина дуги не равна pi/2, она зависит от a.
На рисунке нету касания в правой точке.