Barbedo, ничего не понял, но и проекции и выкладки красивы.

Смею предположить, что при разрезе куба по противоположным граням, площадь сечения будет прямоугольным. Меняя угол разреза по оси, прямоугольник будет превращаться в параллелограмм, при этом площадь сечения оставаться неизменной. Или, предположение слишком смелое? :shok:

Точно погорячился :) Площадь сечения будет меняться в определённых пределах. Нужно ли находить углы поворота для максимума и минимума?

Будете смеяться, но опять нашел ошибку в том же месте. Придется подробнее этот момент.
Рассмотрим сечение AC1B куба с вертикальной главной диагональю:
https://img.uforum.uz/images/sndnvfn6128259.png
На виде сверху радиус описанной окружности, равный горизонтальной проекции ребра куба, составляет 1*cosφ=(2/3)^0,5.

Заново уточняем расчеты:

В правильном треугольнике ACB угол <AF1B=180°-60°-22,5°=97,5°. Горизонтальную проекцию чевианы AF1 найдем по теореме синусов:
sin60°/AF1=sin97,5°/AB
AF1=AB*sin60°/sin97,5°
Аналогично находим горизонтальную проекцию чевианы AE1 треугольника DAC:
sin60°/AE1=sin(180°-60°-37,5°)/AD
AE1=AD*sin60°/sin82,5°
Обратим внимание на то, что AB=AD, а sin82,5°=sin97,5°. Отсюда следует, что AE1=AF1=
=((2/3)^0,5*3^0,5/2)/(¼*(3^0,5*(2+2^0,5)^0,5+(2-2^0,5)^0,5))
Это видно также в том, что треугольники E1F1C (черный куб) и E1F1B’ (синий куб) имеют общее основание и симметричны относительно прямой ss. Кроме того, в горизонтальной проекции <E1AF1=22,5°+37,5°=60°, значит, треугольник E1AF1 равносторонний.
Площадь треугольника AF1E1 равна:
S1=½ AE1*AF1*sin60°=½(AB1*sin60°/sin82,5°)^2*sin60°=
=½ * 2/3 * ¾ * 3^0,5/2 / (sin82,5°)^2
=1/8*3^0,5/(1/8*(4+2^0,5(1+3^0,5)))=
=3^0,5/(4+2^0,5(1+3^0,5))
Истинная площадь треугольника AEF после поворота грани ABCD вокруг прямой gg на 45° до совпадения этой грани с горизонтальной плоскостью:
Saef=S1/cos45°=S1*2^0,5=
=6^0,5/(4+2^0,5(1+3^0,5))
Соответственно, площадь поверхности фигуры, оказавшейся в пересечении кубов А и Б:
S=12*Saef=12*6^0,5/(4+2^0,5(1+3^0,5)) ≈ 3,738

Оффтоп:

Задачка, конечно, зубодробильная, может еще где нахомутал :)

Рассуждая о зависимости площади общей части от угла поворота, сделал вывод о неверности предыдущих расчетов, но в чем именно гнездится, пока не вижу. Итак:

На виде сверху радиус описанной окружности, равный горизонтальной проекции ребра куба, составляет 1*cosφ
=(2/3)^0,5.
Пусть угол поворота куба β будет произвольным 0°<β<60°.
В правильном треугольнике ACB угол
<AF1B=180°-60°-β/2=120°-β/2. Горизонтальную проекцию чевианы AF1 найдем по теореме синусов:
sin60°/AF1=sin(120°-β/2)/AB
AF1=AB*sin60°/(120°-β/2)
Аналогично находим горизонтальную проекцию чевианы AE1 треугольника DAC:
sin60°/AE1=sin(180°-60°-(60°-β/2))/AD
AE1=AD*sin60°/sin(60°+β/2)
Обратим внимание на то, что AB=AD, а sin(60°+β/2)=
=sin(90°-30°+β/2)=sin(90°+30°-β/2)=sin(120°-β/2)
Отсюда следует, что AE1=AF1=
=((2/3)^0,5*sin60°/sin(60°+β/2)
Это видно также в том, что треугольники E1F1C (черный куб) и E1F1B’ (синий куб) имеют общее основание и симметричны относительно прямой ss. Кроме того, в горизонтальной проекции
<E1AF1=120°-β/2-(60°-β/2)=60°, значит, треугольник E1AF1 равносторонний.
Площадь треугольника AF1E1 равна:
S1=½ AE1*AF1*sin60°=
=½(AB1*sin60°/sin(60°+β/2))^2*sin60°=
=½ * 2/3 * ¾ * 3^0,5/2 / (sin(60°+β/2))^2=
=1/8*3^0,5/(sin(60°+β/2))^2
Истинная площадь треугольника AEF после поворота грани ABCD вокруг прямой gg на 45° до совпадения этой грани с горизонтальной плоскостью:
Saef=S1/cos45°=S1*2^0,5=
=1/8*6^0,5/(sin(60°+β/2))^2
Соответственно, площадь поверхности фигуры, оказавшейся в пересечении кубов А и Б:
S=12*Saef=3/2*6^0,5/(sin(60°+β/2))^2
Поскольку (sin(60°+β/2))^2 полого возрастает на участке 0°<β/2<30°, легко определить, что минимальная площадь общей части двух кубов будет наблюдаться при β/2=30°, т.е. при относительном повороте на 60°, и составит
S=12*Saef=3/2*6^0,5 ≈ 3,674,
а максимальная, соответственно, при β=0°:
S=12*Saef=3/2*6^0,5/(sin(60°)^2=2*6^0,5 ≈ 4,899

Упс! Подмечаем острым глазом, что при нулевом повороте площадь должна равняться 6, а вовсе не 4,899.
Значит, где-то в решение вкралась и затаилась ошибка! Может кто углядел ее? Будем искать. :)

Нашел. Придется перерисовывать и переделывать. Надеюсь на успех :)

Вот что крест животворящий чайхана в субботу вечером с людьми делает! :)
Респект!

Источник ошибки заключался в привычке рисовать куб в изометрии таким образом, что ближняя к нам вершина (С) совпадает с дальней от нас (A1). На самом деле, если расположить главную диагональ куба вертикально и смотреть на нее вдоль горизонта, то вид куба на фронтальной проекции будет иным (соотношения показаны на виде слева):
https://img.uforum.uz/images/eagmgjs8695511.png
На виде сверху радиус описанной окружности, равный горизонтальной проекции ребра куба, составляет 1*cosφ
=(2/3)^0,5.
Пусть угол поворота куба β будет произвольным 0°<β<60°.
В правильном треугольнике ACB угол
<AF1B=180°-60°-β/2=120°-β/2. Горизонтальную проекцию чевианы AF1 найдем по теореме синусов:
sin60°/AF1=sin(120°-β/2)/AB
AF1=AB*sin60°/(120°-β/2)
Аналогично находим горизонтальную проекцию чевианы AE1 треугольника DAC:
sin60°/AE1=sin(180°-60°-(60°-β/2))/AD
AE1=AD*sin60°/sin(60°+β/2)
Обратим внимание на то, что AB=AD, а sin(60°+β/2)=
=sin(90°-30°+β/2)=sin(90°+30°-β/2)=sin(120°-β/2)
Отсюда следует, что AE1=AF1=
=((2/3)^0,5*sin60°/sin(60°+β/2)
Это видно также в том, что треугольники E1F1C (черный куб) и E1F1B’ (синий куб) имеют общее основание и симметричны относительно прямой ss. Кроме того, в горизонтальной проекции
<E1AF1=120°-β/2-(60°-β/2)=60°, значит, треугольник E1AF1 равносторонний.
Площадь треугольника AF1E1 равна:
S1=½ AE1*AF1*sin60°=
=½(AB1*sin60°/sin(60°+β/2))^2*sin60°=
=½ * 2/3 * ¾ * 3^0,5/2 / (sin(60°+β/2))^2=
=1/8*3^0,5/(sin(60°+β/2))^2
Истинная площадь треугольника AEF после поворота грани ABCD вокруг прямой gg на (90°-φ) до совпадения этой грани с горизонтальной плоскостью:
Saef=S1/cos(90°-φ)=S1*3^0,5=
=(3/8)/(sin(60°+β/2))^2
Соответственно, площадь поверхности фигуры, оказавшейся в пересечении кубов А и Б:
S=12*Saef=(9/2)/(sin(60°+β/2))^2
Поскольку (sin(60°+β/2))^2 полого возрастает на участке 0°<β/2<30°, легко определить, что минимальная площадь общей части двух кубов будет наблюдаться при β/2=30°, т.е. при относительном повороте на 60°, и составит
S=12*Saef= 9/2 = 4,5 а максимальная, соответственно, при β=0°:
S=12*Saef=(9/2)/(sin(60°)^2=6

Составим таблицу искомой площади в зависимости от угла поворота β (с шагом 5°):
https://img.uforum.uz/images/heilyjg4500068.png
Проверим «вручную» для угла β=45°:
S=12*Saef=(9/2)/(sin(60°+β/2))^2=(9/2)/(sin82,5°)^2=
=(9/2)/(1/8*(4+2^0,5*(1+3^0,5))) ≈ 4,578
:)