Есть конкретные предложения?
Самое простое, непрограммистское решение в шаблоне поста в вызове функции Insert поставить двойные кавычки, а не одинарные. Тогда внутреннее содержимое с одинарной кавычкой будет нормально вставляться (но не будут вставляться имена с двойными кавычками, гггг, впрочем таких, кажется, не бывает)
<a title="Выделить текст и кликнуть здесь" onmouseover="catchSelection()" href="javascript:Insert("Djalola'tdin%20Rakhimov",%20selection,%20'215788')">Цитата выделенного</a>
Программистским решением будет в том же шаблоне вывода поста, в той же функции, в выводе имени, заменить опасные символы на мнемоники или добавить слеши перед ними:
$username = htmlspecialchars ($username, ENT_QUOTES);
или
$username = addslashes ($username);