Обитаемый полуостров

[Evgeniy Sklyarevskiy]

Полуостров представляет собой острый угол, внутри которого находится дом лесника. Как леснику, выйдя из дома, добраться до одного берега полуострова, затем до другого и вернуться домой, пройдя при этом по самому короткому пути?

[Наташа]

Я б сделала так:
- протоптала 2е тропинки от его дома к пляжам -самые короткие
-пошла б от хижины к пляжу самой короткой дорогой -по тропинке
-от пляжа прямиком к другому пляжу туда где у моря начинаеться 2ая тропинка
-по тропинке прям к хижине

[Evgeniy Sklyarevskiy]

Я б сделала так:
- протоптала 2е тропинки от его дома к пляжам -самые короткие
-пошла б от хижины к пляжу самой короткой дорогой -по тропинке
-от пляжа прямиком к другому пляжу туда где у моря начинаеться 2ая тропинка
-по тропинке прям к хижине

А как доказать, что это самый короткий путь? Может, если все чуть сдвинуть в вершине угла, суммарный путь окажется короче?

[DarkUser]

т.е. мы имеем треугольник, одна вершина которого - дом лесника, а две другие - два берега, так?

в таком случае - находи ф-ю длины треугольника от - допустим - угла, и взяв от нее производную - находим точки мин/максимума...
хотя интуиция подсказывает, что треугольник должен быть равносторонним :))

- протоптала 2е тропинки от его дома к пляжам -самые короткие
вот-вот, а как найти эти самые короткие??
это только луч света знает, как ему двигаться, что-б самый короткий путь пройти :)

[Nadir Zaitov]

т.е. мы имеем треугольник, одна вершина которого - дом лесника, а две другие - два берега, так? Нет, мы имеем кусок плоскости ограниченной двумя лучами, в нутри которой (в некоторой произвольной точке) живет лесник. Найти кратчайшую траекторию как увидеть два луча.
это только луч света знает, как ему двигаться, что-б самый короткий путь пройти Не самый короткий, а самый быстрый :) Есть разница ;)

[Nadir Zaitov]

Ясно, что траектория будет состоять из двух отрезков (как ни как пока по ровной местности кратчайшим расстоянием будет прямая).

Кроме того, ясно, что вторым отрезком будет кусок прямой, перпендикулярный одному из лучей (а именно второму, к которому мы бы пошли, добежав до первого).

Теперь предположим, что мы знаем, куда мы в итоге прибежим, то кратчайшее расстояние до него была бы траектория, при которой угол падения о первый луч равен был бы лучу отражения. Короче ясно, что от первого луча мы должны были бы "отразиться" и попасть под прямым углом на второй луч, при этом отражаться нужно от ближайшего луча. Но это теория, теперь о практике в следующем посте.

[Наташа]

вот-вот, а как найти эти самые короткие?? это только луч света знает, как ему двигаться, что-б самый короткий путь пройти где то слышала что луч света может изгибаться...

А как доказать, что это самый короткий путь? Может, если все чуть сдвинуть в вершине угла, суммарный путь окажется короче?
для этого выразим длины ваших тропинок через длины моих и углы между ними, сложим все стороны триугольника (длину дорожки между пляжами выразим через теорему косинуов) - каждое из слагаемых минимально (при небольших углах) например когда углы между нашими дорожками равны нолю

[Nadir Zaitov]

Выберим начало в точке начала лучей, ось Х координат на том луче, который ближе к D (домику в деревне лесника), т.е. если опустить из точки D перпендикуляр, то его длинна y наименьшая из двух, при этом мы попадаем в точку X0 на примой "иксов". Идея вполне эмпирическая: чтобы дважды не ходить огромные расстояния нужно дойти до ближайшего края, а потом идти к наидальнейшему). Тогда в некоторой точке х луча длинна второго отрезка будет равна x*sin(Alfa) (Alfa - угол между лучами), а длинна первого отрезка будет sqrt((x-X0)^2+y^2).

Общий пробег равен x*sin(Alfa)+sqrt((x-X0)^2+y^2).

Пора искать минимум (дифференциировать). А вот дальше и писать не буду. У меня получился не очень красивый ответ: точка x = X0-y/(4ctg(Alfa)+3)

[Nadir Zaitov]

каждое из слагаемых минимально например когда углы между нашими дорожками равны нолю Каждое слагаемое минимально, но сумма может оказаться не минимальной. В геометрии это на каждом шагу. Спасибо, за пылкий ум, но явно ошибочка в рассуждениях.

[DarkUser]

Не самый короткий, а самый быстрый Есть разница
ок, поторопился, ошибся.

в некоторой точке х луча длинна второго отрезка будет равна x*sin(Alfa) (Alfa - угол между лучами), а длинна первого отрезка будет sqrt((x-X0)^2+y^2).
ммм.. насколько я понял из задачи - там еще третий отрезок должен быть - вернутся домой...

[Наташа]

Каждое слагаемое минимально, но сумма может оказаться не минимальной. В геометрии это на каждом шагу. Спасибо, за пылкий ум, но явно ошибочка в рассуждениях.
:cray:а можно пример... :cray:

[Nadir Zaitov]

ммм.. насколько я понял из задачи - там еще третий отрезок должен быть - вернутся домой... Вах, вах, вах. Не хорошо. Дорогу домой я не учел. Задачка обещает быть противной. Путь домой, путь домой, если мы придем домой мы помянем этот ветер если мы придем домой... (с) Мне кажется, что решением будет двойное отражение от каждого из лучей в теории. Нужно б подумать на практике.

[Vitaliy Fioktistov]

ммм.. насколько я понял из задачи - там еще третий отрезок должен быть - вернутся домой... Вах, вах, вах. Не хорошо. Дорогу домой я не учел. Задачка обещает быть противной. Путь домой, путь домой, если мы придем домой мы помянем этот ветер если мы придем домой... (с) Мне кажется, что решением будет двойное отражение от каждого из лучей в теории. Нужно б подумать на практике.

Если на берегу браконьеры или контрабандисты, домой можно и не вернуться...

[Nadir Zaitov]

а можно пример... Например, дана прямая и две точки на паралельной прямой. нужно найти кратчайший маршрут от одной точки до прямой и обратно до другой точки. Вроде все аналогично: Сначала по кратчайшему пути бежим к прямой (это перпендикуляр. Добежали, потом по кратчайшему пути бежим до второй точки. Это прямая от точки падения перпендикуляра на прямую до второй точки. Вроде сумма кратчайших расстояний - будет ответ... ан-неееет! Проверьте, что если опустить с обоих точек перпендикуляр, получившийся отрезок на прямой поделить пополам и бежать сразу в реднюю точку и далее обратно ко второй точке, то траектория окажется короче.

[Наташа]

Это прямая от точки падения перпендикуляра на прямую до второй точки. Вроде сумма кратчайших расстояний - будет ответ... ан-неееет!
в вашем случае 2ой отрезок не являеться самым коротким отрезком от прямой до прямой :)
вы сделали минимальным ток 1й отрезок а 2й нет :)

[DarkUser]

Если на берегу браконьеры или контрабандисты, домой можно и не вернуться...
а если пивнушка, то и короткий путь заметно удлинится

[Vitaliy Fioktistov]

Если на берегу браконьеры или контрабандисты, домой можно и не вернуться...
а если пивнушка, то и короткий путь заметно удлинится

перестанет быть прямолинейным? :naughty:

[Nadir Zaitov]

а можно пример... Например, ..., то траектория окажется короче. Вот график:
https://img.uforum.uz/images/4967627.png

[Nadir Zaitov]

в вашем случае 2ой отрезок не являеться самым коротким отрезком от прямой до прямой Так ведь является кратчайшим от конкретной точки на прямой до другой точки... пробежаться по прямой, а потом по перпендикуляру - днинее :)

[Nadir Zaitov]

Мне кажется, что решением будет двойное отражение от каждого из лучей в теории. Нужно б подумать на практике. Мне кажется, что это решение сабжевой задачи, так как свет выбрал бы именно эту траекторию :). Угол падения на каждый луч должен быть равен углу отражения.

[Наташа]

Мне кажется, что это решение сабжевой задачи, так как свет выбрал бы именно эту траекторию . Угол падения на каждый луч должен быть равен углу отражения.если свет лампочки отрожаеться в зеркале -это совсем не значит что до меня от лампочки ближе через зеркало- ведь я стою возле лампочки :)

[Barbedo]

https://img.uforum.uz/images/6226392.png
Пусть А - вершина угла, D - дом лесника. Опустив на берега перпендикуляры DB и DC, соединим их основания отрезком BC. Найдем точку F на продолжении отрезка AD, такую, что луч света, пришедший из точки F в точку B, отразившись от берега AB, попадет в точку C и, отразившись от берега AC, вернется в точку F. Для этого проведем прямую BF так, что <СBD=<DBF и прямую CF' так, что <DCF'=<DCB. Легко доказать, что точки F и F' совпадают. К построенному треугольнику замкнутой траектории луча света FBC применим гомотетию с центром в точке А и коэффициентом k=|AD|/|AF|. Полученный треугольник DB'C' и есть кратчайший путь лесника.
:187:

[b_a_lamut]

Полученный треугольник DB'C' и есть кратчайший путь лесника.

Класс! Но мы пойдём другим путём :)

https://img.uforum.uz/images/37444.jpg

Снимок сделан со спутника, поэтому качество не очень. Если сделать приближение, можно увидеть на крыше дома, лесника, ловящего рыбу. :)

[vtoes288]

Полученный треугольник DB'C' и есть кратчайший путь лесника.

Класс! Но мы пойдём другим путём :)

https://img.uforum.uz/images/37444.jpg

Снимок сделан со спутника, поэтому качество не очень. Если сделать приближение, можно увидеть на крыше дома, лесника, ловящего рыбу. :)

А Где тропинки? Спутник не бось, Китайский?:187:

[Evgeniy Sklyarevskiy]

Полученный треугольник DB'C' и есть кратчайший путь лесника.
Это гипотеза или предположение или факт?

[vtoes288]

Полученный треугольник DB'C' и есть кратчайший путь лесника.
Это гипотеза или предположение или факт?
Конечно факт. Перпендикуляр самая короткая "тропинка", или вы сомневаетесь?

[Evgeniy Sklyarevskiy]

Полученный треугольник DB'C' и есть кратчайший путь лесника.
Это гипотеза или предположение или факт?
Конечно факт. Перпендикуляр самая короткая "тропинка", или вы сомневаетесь?

Сомневаюсь - в решении нет ни одного прямого угла :-0)

Гомотетия, возможно, все портит...

[vtoes288]

Это гипотеза или предположение или факт?
Конечно факт. Перпендикуляр самая короткая "тропинка", или вы сомневаетесь?

Сомневаюсь - в решении нет ни одного прямого угла :-0)

Гомотетия, возможно, все портит...

Вы имеете в виду другое решение?

[vtoes288]

Это гипотеза или предположение или факт?
Конечно факт. Перпендикуляр самая короткая "тропинка", или вы сомневаетесь?

Сомневаюсь - в решении нет ни одного прямого угла :-0)

Гомотетия, возможно, все портит...

https://img.uforum.uz/images/7823961.jpg
точно, на вскидку нарисовал и вот она голая правда, с Перпендикуляроми длиннее. Забавно.

[Barbedo]

Полученный треугольник DB'C' и есть кратчайший путь лесника.
Это гипотеза или предположение или факт?
Скажем так, это версия. Конечно же, лесник не обязан, подобно свету или мячу, отскакивать от берега под тем же углом, под которым вышел на пляж, он может ходить и другим зигзагом:)

[Barbedo]

Конечно факт. Перпендикуляр самая короткая "тропинка", или вы сомневаетесь?

Сомневаюсь - в решении нет ни одного прямого угла :-0)

Гомотетия, возможно, все портит...

https://img.uforum.uz/images/7823961.jpg
точно, на вскидку нарисовал и вот она голая правда, с Перпендикуляроми длиннее. Забавно.
Не понял, каким образом построен коричневый треугольник. Но наложив на ваш рисунок построение по световому лучу с нелюбимой Е.С. гомотетией, проверил тоже линейкой:) На чертеже - красный треугольник с размерами. И его периметр оказался меньше обоих вариантов, и коричневого, и синего:
https://img.uforum.uz/images/1908662.png

[b_a_lamut]

А Где тропинки? Спутник не бось, Китайский?

Скажете тоже... Китайский :( Сам запускал. А тропинки зачем? Всё возле дома :)

[Наташа]

На чертеже - красный треугольник с размерами. И его периметр оказался меньше обоих вариантов, и коричневого, и синего:
а как это доказать?

[Наташа]

хотя можете и не доказывать что у вашего триугольника самый маленький периметр -это не возможно -у моего триугольника периметр всяко меньше:girl_blum:

доказательство потом приведу когда настроение будет много писать:girl_sigh:

https://img.uforum.uz/images/800914.jpg

[iDead]

Если островной угол равен 90 градусов, а домик лежит на биссектрисе этого угла, то кратчайшее растояние - это от домика до вершины угла и обратно.

Если же островной угол равен 0 градусов, то кратчайшее растояние - это от домика до берега "по перпендикуляру" и обратно.

Значит истина где-то по-середине. :)

[Nadir Zaitov]

Если островной угол равен 90 градусов, а домик лежит на биссектрисе этого угла, то кратчайшее растояние - это от домика до вершины угла и обратно. Даже не важно где лежит :)

[Nadir Zaitov]

хотя можете и не доказывать что у вашего триугольника самый маленький периметр -это не возможно -у моего триугольника периметр всяко меньше:girl_blum:

доказательство потом приведу когда настроение будет много писать:girl_sigh:

https://img.uforum.uz/images/800914.jpg
Интересно, в варианте с отражениями углы располагаются с точностью до наоборот (либо при основании, либо при перпендикулярах). Кстати, сразу замечу, что любой маршрут, если он не создан на отражениях можно улучшить за счет замены пары отрезков на отрезки с отражением :) Наталья, проверьте свои расчеты. Я уверен в своих расчетах!

[Nadir Zaitov]

Кстати, пусть у нас есть некоторый трегулоьник маршрута. Предположим, что один из углов, (лежащий на луче заданного угла, а не домик лесника :)) не является точкой "отражений" смежных сторон (углы падения и отражения не равны), тогда этот угол и две другие стороны можно заменить (не изменяя два других угла треугольника) так, что периметр треугольника может быть уменьшин - просто выбрав точку с "отражением сторон". Единственный треугольник, который нельзя улучшить тот, у которого оба угла, опирающихся на заданный угол являются углами "с отражением сторон". ;) Если не понятно, то кто-нибудь может нарисует и объяснит?

[Наташа]

Наталья, проверьте свои расчеты.
проверила, у меня все верно... у вас по всей видимости тоже...
у нас один и тот же триугольник :girl_cray3:
а от это:
Интересно, в варианте с отражениями углы располагаются с точностью до наоборот (либо при основании, либо при перпендикулярах). непрально -у вас будет наверно в точности как у меня

стоило сток мучаться чтоб прити не к чему... в предь ночью спать буду:cray:

[Наташа]

-может ли существовать несколько "отраженных триугольников" с разными значениями периметра?

т.е. мой триугольник отраженный а являеться ли всякий отраженный триугольник таким как у меня?

[Shuhrat Ismailov]

Если островной угол равен 90 градусов, а домик лежит на биссектрисе этого угла, то кратчайшее растояние - это от домика до вершины угла и обратно. Даже не важно где лежит :)

Более того, если островной угол будет больше чем 90 градусов, то кратчайшее расстояние - это от домика до вершины угла и обратно. И тут тоже не важно , лежит домик на биссектрисе этого угла или нет.

[Shuhrat Ismailov]

https://img.uforum.uz/images/6226392.png
Пусть А - вершина угла, D - дом лесника. Опустив на берега перпендикуляры DB и DC, соединим их основания отрезком BC. Найдем точку F на продолжении отрезка AD, такую, что луч света, пришедший из точки F в точку B, отразившись от берега AB, попадет в точку C и, отразившись от берега AC, вернется в точку F. Для этого проведем прямую BF так, что <СBD=<DBF и прямую CF' так, что <DCF'=<DCB. Легко доказать, что точки F и F' совпадают. К построенному треугольнику замкнутой траектории луча света FBC применим гомотетию с центром в точке А и коэффициентом k=|AD|/|AF|. Полученный треугольник DB'C' и есть кратчайший путь лесника.
:187:
Без гомотетии.
Пусть А - вершина угла, D - дом лесника.
Отразим дом лесника D относительно сторон AB и AC угла получим точки D” и D’.
Построим отрезок D”D’ . Отметим B’, C’ - точки пересечения этого отрезка со сторонами угла.
Полученный треугольник DB'C' и есть кратчайший путь лесника.
https://img.uforum.uz/images/6049079.jpg

[Nadir Zaitov]

т.е. мой триугольник отраженный а являеться ли всякий отраженный триугольник таким как у меня? Если мы понимаем слово "отраженный" одинаковым образом, то он единственный (нет степеней свободы при построении). Шухрат Исмаилов даже показал, как строить :)

[Nadir Zaitov]

Без гомотетии. Пусть А - вершина угла, D - дом лесника. Отразим дом лесника D относительно сторон AB и AC угла получим точки D” и D’. Построим отрезок D”D’ . Отметим B’, C’ - точки пересечения этого отрезка со сторонами угла. Полученный треугольник DB'C' и есть кратчайший путь лесника. Действительно более наглядно, надеюсь теперь Наташа согласится, что кратчайшее расстояние - между двумя зеркальными образами - прямая, а не ломанная :) Кстати при этом (как и в зеркале) угол падения равен углу отражения.

[Nadir Zaitov]

доказательство потом приведу когда настроение будет много писать Все ж приведите. Я был не прав, соглашаюсь. Углы не могут быть с одной стороны.

[Shuhrat Ismailov]

Осталось для полноты доказать, что треугольник DB'C' и есть кратчайший путь лесника.
Пусть DXY – произвольный треугольник с вершинами X и Y, лежащими на берегах AB и AC соответственно (например как на рисунке).

https://img.uforum.uz/images/3205162.jpg
Выясним, при каких X, Y периметр треугольника DXY минимален.
Так как D” и D’ - точки, симметричные точке D относительно сторон AB и AC угла, то справедливы равенства DX = D” X и DY = D’Y
Отсюда следует, что периметр треугольника DXY совпадает с длиной ломаной D”XYD’.
Заметим, что длина ломаной D”XYD’ минимальна , когда точки D”,X,Y, D’ лежат на одной прямой (т.е. это отрезок), а это возможно лишь в случае, когда X совпадает с B', а Y совпадает с С'.
Значит, треугольник DB'C' и есть кратчайший путь лесника.


Легко заметить, что возможны и иные варианты взаимного расположения точек X,Y, B', C', отличные от указанного на рисунке. Однако на решение это никоим образом не влияет, что меня чрезвычайно порадовало, так как освободило меня от манипуляций мышкой в Пайнте. Впрочем, если кому-нибудь так важно для восприятия решения, то можно попросить b_a_lamut а об услуге.

[Evgeniy Sklyarevskiy]

Теперь осталось убедиться, что маршруты от Barbedo и от Shuhrat Ismailov (и от лесника) совпадают.

[Barbedo]

Теперь осталось убедиться, что маршруты от Barbedo и от Shuhrat Ismailov (и от лесника) совпадают.
думаю, это очевидно из построений - падений и отражений лесника :)

[Nadir Zaitov]

Теперь осталось убедиться, что маршруты от Barbedo и от Shuhrat Ismailov (и от лесника) совпадают. Evgeniy Sklyarevskiy, Вы тему не читаете. :) У них одно и тоже! Принцип построения идентичен. Шухрат Исмаилов показал на графике то, что уже было доказано тут (http://www.uforum.uz/showthread.php?p=214341#post214341), кстати на графике очень красиво. Остался нерешенным вопрос с Наташей. Всеж можно ли доказать, что построение с углами Альфа и Бетта и наши "отраженные" треугольники одно и то же!